Division synthétique

La division synthétique est une méthode abrégée pour diviser un polynôme par un diviseur linéaire de la forme $x-c$. On utilise les coefficients au lieu d’écrire toute la division euclidienne des polynômes, donc c’est plus rapide quand le diviseur a exactement cette forme.

Cette condition est importante. La division synthétique standard fonctionne pour des diviseurs comme $x-2$ ou $x+5$, car ils sont bien de la forme $x-c$. Si le diviseur n’est pas sous cette forme, n’essayez pas de forcer la méthode.

Quand la division synthétique fonctionne

Utilisez la division synthétique lorsque le diviseur est linéaire et peut s’écrire sous la forme $x-c$. Cela inclut $x-2$, $x+3$ et $x-\frac{1}{2}$.

Si le diviseur est $2x-3$, la mise en place habituelle ne s’applique pas directement. Dans ce cas, utilisez la division euclidienne des polynômes ou reformulez le problème avec précaution.

Ce que signifient les nombres

Supposons que vous divisiez un polynôme $P(x)$ par $x-c$. La division synthétique transforme ce problème en une suite d’étapes répétées de multiplication et d’addition en utilisant le nombre $c$ et les coefficients de $P(x)$.

Le dernier nombre est le reste. Tous les nombres qui le précèdent sont les coefficients du quotient. D’après le théorème du reste, ce dernier nombre est aussi $P(c)$.

Comment faire une division synthétique

Pour la mettre en place :

1. Écrivez le nombre $c$ à gauche.
2. Listez les coefficients du polynôme par puissances décroissantes de $x$.
3. Ajoutez un zéro pour toute puissance manquante.
4. Descendez le premier coefficient.
5. Multipliez par $c$, écrivez le résultat sous le coefficient suivant, puis additionnez.
6. Répétez jusqu’à la fin.

S’il manque un terme, le zéro n’est pas facultatif. Il permet de garder toutes les puissances correctement alignées.

Exemple de division synthétique

Divisez $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ par $x-2$.

Comme le diviseur est $x-2$, on utilise $c=2$. Les coefficients sont $2$, $-3$, $4$ et $-5$.

Faites maintenant les étapes de multiplication et d’addition :

1. Descendez le premier coefficient : $2$.
2. Multipliez $2$ par $2$ pour obtenir $4$, puis ajoutez à $-3$ pour obtenir $1$.
3. Multipliez $1$ par $2$ pour obtenir $2$, puis ajoutez à $4$ pour obtenir $6$.
4. Multipliez $6$ par $2$ pour obtenir $12$, puis ajoutez à $-5$ pour obtenir $7$.

La ligne du bas est donc $2$, $1$, $6$, $7$. Les coefficients du quotient sont $2$, $1$ et $6$, et le reste est $7$.

On obtient donc le quotient

$$2x^2 + x + 6$$

avec un reste de $7$. Donc

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

et le résultat de la division peut aussi s’écrire

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

Pourquoi les élèves utilisent la division synthétique

La division synthétique est utile quand on veut une méthode plus rapide pour diviser par $x-c$, tester un facteur possible ou trouver rapidement un reste.

Elle apparaît souvent avec le théorème du reste et le théorème des facteurs. Si le reste est $0$, alors $x-c$ est un facteur du polynôme.

Erreurs fréquentes en division synthétique

Utiliser le mauvais signe

Pour un diviseur $x-2$, utilisez $2$. Pour un diviseur $x+2$, utilisez $-2$. Le signe change parce que $x+2 = x-(-2)$.

Oublier les termes manquants

Si vous divisez $x^3 + 5x - 1$, la liste des coefficients n’est pas $1, 5, -1$. C’est

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

parce que le terme en $x^2$ manque.

Utiliser la méthode abrégée avec le mauvais diviseur

La mise en place de base est prévue pour $x-c$. Si le diviseur est quelque chose comme $2x-3$, ne mettez pas simplement $3$ à gauche pour continuer comme d’habitude. Utilisez une autre méthode, sauf si vous connaissez la version modifiée.

Oublier ce que signifie le dernier nombre

Le dernier nombre est le reste, pas un autre coefficient du quotient.

Quand vous la rencontrerez

La division synthétique apparaît quand vous :

1. divisez un polynôme par $x-c$
2. vérifiez si une expression linéaire est un facteur
3. avez besoin du reste $P(c)$
4. voulez une alternative plus rapide à la division euclidienne dans ce cas particulier

Essayez un problème similaire

Divisez $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ par $x-1$ en utilisant la division synthétique. Utilisez ensuite le reste pour décider si $x-1$ est un facteur. Si vous voulez un autre cas, essayez le même polynôme avec $x-2$ et comparez les restes.