Aire de surface d’un cylindre — formule et exemples

L’aire de surface totale d’un cylindre est la somme de l’aire de ses deux extrémités circulaires et de sa surface latérale courbe. Pour un cylindre circulaire droit fermé de rayon $r$ et de hauteur $h$, la formule est

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Utilisez cette formule lorsque le cylindre est fermé. Si l’énoncé demande seulement la surface courbe, utilisez $2\pi rh$. S’il manque le haut ou le bas, soustrayez l’aire du cercle manquant.

Explication de la formule de l’aire de surface d’un cylindre

La formule comporte deux parties parce que la figure possède deux types de surfaces différents.

Le haut et le bas sont des cercles. Chacun a pour aire $\pi r^2$, donc ensemble ils donnent

$$2\pi r^2$$

Le côté est courbe, mais on peut l’imaginer comme un rectangle enroulé autour du cylindre. Sa hauteur est $h$, et sa largeur est la circonférence de la base, $2\pi r$. On obtient donc l’aire latérale

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

Additionnez les cercles et le côté :

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

C’est l’idée essentielle à retenir : deux cercles plus un rectangle enroulé.

Exemple détaillé : rayon $3$ cm, hauteur $8$ cm

Supposons qu’un cylindre fermé ait un rayon de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm.

Écrivez la formule :

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Remplacez $r = 3$ et $h = 8$ :

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

Calculez les deux parties :

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

Donc l’aire de surface exacte est $66\pi\ \text{cm}^2$.

Si vous avez besoin d’une valeur approchée décimale, utilisez $\pi \approx 3.1416$ :

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

La réponse est en centimètres carrés, car l’aire de surface mesure une surface à recouvrir, et non l’espace intérieur.

Une vérification rapide qui permet de repérer une erreur fréquente

Si vous calculez seulement le côté,

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

vous avez trouvé l’aire latérale, et non l’aire de surface totale.

Pour un cylindre fermé, le total doit être plus grand, car il comprend aussi deux bases circulaires. Cette comparaison rapide est un moyen simple de repérer une erreur de mise en place avant de terminer.

Erreurs fréquentes avec l’aire de surface d’un cylindre

1. Utiliser le diamètre comme s’il s’agissait du rayon. Si $d = 6$, alors $r = 3$, et non $6$.
2. Utiliser seulement $2\pi rh$ alors que la question demande l’aire de surface totale.
3. Écrire des unités cubes. L’aire de surface doit s’exprimer en unités carrées comme $\text{cm}^2$ ou $\text{m}^2$.
4. Oublier que la formule change si le cylindre est ouvert en haut ou en bas.
5. Confondre aire de surface et volume. L’aire de surface mesure l’extérieur ; le volume mesure l’espace intérieur.

Quand utiliser la formule de l’aire de surface

Utilisez cette formule lorsque vous avez besoin de la surface extérieure d’un objet cylindrique fermé. Des exemples typiques sont la quantité de métal nécessaire pour une boîte, l’aire de l’étiquette autour d’un récipient ou la surface peinte d’une pièce cylindrique.

La condition est importante. Si vous avez besoin seulement du revêtement latéral, utilisez $2\pi rh$. S’il manque une base, soustrayez $\pi r^2$. Si les deux bases manquent, le résultat est simplement l’aire latérale. Si la figure n’est pas un cylindre circulaire droit, cette formule n’est qu’une approximation.

Essayez votre propre version

Essayez votre propre version avec un rayon de $5$ cm et une hauteur de $12$ cm. Commencez par calculer l’aire latérale, puis ajoutez les deux bases circulaires. Si vous voulez aller plus loin, résolvez un problème similaire et comparez votre mise en place avant de simplifier.