Oberfläche eines Zylinders — Formel & Beispiele

Die gesamte Oberfläche eines Zylinders ist die Summe aus den Flächen seiner beiden kreisförmigen Enden und seiner Mantelfläche. Für einen geschlossenen geraden Kreiszylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ lautet die Formel

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Diese Formel verwendest du, wenn der Zylinder geschlossen ist. Wenn in der Aufgabe nur die Mantelfläche gefragt ist, verwendest du $2\pi rh$. Fehlt oben oder unten eine Kreisfläche, ziehst du die Fläche des fehlenden Kreises ab.

Formel für die Oberfläche eines Zylinders erklärt

Die Formel hat zwei Teile, weil der Körper aus zwei verschiedenen Arten von Flächen besteht.

Oben und unten liegen Kreise. Jeder Kreis hat die Fläche $\pi r^2$, zusammen ergibt das

$$2\pi r^2$$

Die Seitenfläche ist gekrümmt, aber man kann sie sich wie ein Rechteck vorstellen, das um den Zylinder gewickelt ist. Seine Höhe ist $h$, und seine Breite ist der Umfang der Grundfläche, also $2\pi r$. Daraus ergibt sich für die Mantelfläche

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

Addiere die Kreisflächen und die Mantelfläche:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Das ist die wichtigste Idee: zwei Kreise plus ein aufgewickeltes Rechteck.

Rechenbeispiel: Radius $3$ cm, Höhe $8$ cm

Angenommen, ein geschlossener Zylinder hat den Radius $3$ cm und die Höhe $8$ cm.

Schreibe die Formel auf:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Setze $r = 3$ und $h = 8$ ein:

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

Berechne die beiden Teile:

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

Die exakte Oberfläche ist also $66\pi\ \text{cm}^2$.

Wenn du einen Dezimalwert brauchst, verwende $\pi \approx 3.1416$:

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

Die Antwort steht in Quadratzentimetern, weil die Oberfläche eine Flächenangabe ist und nicht den Innenraum beschreibt.

Eine schnelle Kontrolle für einen häufigen Fehler

Wenn du nur die Seitenfläche berechnest,

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

dann hast du die Mantelfläche gefunden, nicht die gesamte Oberfläche.

Bei einem geschlossenen Zylinder muss die gesamte Oberfläche größer sein, weil auch die beiden Kreisflächen dazugehören. Dieser schnelle Vergleich hilft dir, einen Ansatzfehler zu erkennen, bevor du fertig bist.

Häufige Fehler bei der Oberfläche eines Zylinders

1. Den Durchmesser so zu verwenden, als wäre er der Radius. Wenn $d = 6$ ist, dann gilt $r = 3$ und nicht $6$.
2. Nur $2\pi rh$ zu verwenden, obwohl nach der gesamten Oberfläche gefragt ist.
3. Kubikeinheiten anzugeben. Für die Oberfläche braucht man Flächeneinheiten wie $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$.
4. Zu vergessen, dass sich die Formel ändert, wenn der Zylinder oben oder unten offen ist.
5. Oberfläche und Volumen zu verwechseln. Die Oberfläche misst die Außenseite, das Volumen den Raum im Inneren.

Wann man die Formel für die Oberfläche verwendet

Verwende diese Formel, wenn du die äußere Hülle eines geschlossenen zylindrischen Körpers brauchst. Typische Beispiele sind das Metall für eine Dose, die Etikettenfläche um einen Behälter oder die zu lackierende Fläche eines zylindrischen Bauteils.

Die Bedingung ist wichtig. Wenn du nur die Seitenverkleidung brauchst, verwende $2\pi rh$. Fehlt eine Grundfläche, ziehe $\pi r^2$ ab. Fehlen beide, bleibt nur die Mantelfläche. Wenn die Form kein gerader Kreiszylinder ist, ist diese Formel nur eine Näherung.

Probiere deine eigene Variante

Probiere eine eigene Aufgabe mit Radius $5$ cm und Höhe $12$ cm. Berechne zuerst die Mantelfläche und addiere dann die beiden Kreisflächen. Wenn du noch einen nächsten Schritt möchtest, löse eine ähnliche Aufgabe und vergleiche deinen Ansatz, bevor du vereinfachst.