พื้นที่ผิว — สูตรของรูปทรงสามมิติทุกแบบ

พื้นที่ผิวคือพื้นที่ทั้งหมดบนผิวด้านนอกของรูปทรงสามมิติ ถ้าคุณนึกภาพว่าห่อวัตถุทึบด้วยกระดาษ พื้นที่ผิวจะบอกว่าต้องใช้กระดาษเท่าไรจึงจะคลุมได้ทั้งหมด

สูตรที่ใช้ขึ้นอยู่กับชนิดของรูปทรงและส่วนที่นับรวม สูตรด้านล่างเป็นสูตรสำหรับรูปทรงตันแบบปิด จึงนับทุกด้านนอกหรือทุกผิวโค้งด้านนอก

สูตรพื้นที่ผิวของรูปทรงสามมิติที่พบบ่อย

ลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน $a$:

$$SA = 6a^2$$

ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาว $l$ ความกว้าง $w$ และความสูง $h$:

$$SA = 2(lw + lh + wh)$$

ทรงกระบอกกลมตรงที่มีรัศมี $r$ และความสูง $h$:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$$

ทรงกลมที่มีรัศมี $r$:

$$SA = 4\pi r^2$$

ทรงกรวยกลมตรงที่มีรัศมี $r$ และความยาวเอียง $l$:

$$SA = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l)$$

สำหรับสูตรของทรงกระบอก พจน์ $2\pi r^2$ นับฐานวงกลมทั้งสองด้าน สำหรับสูตรของทรงกรวย พจน์ $\pi r^2$ นับฐาน และพจน์ $\pi rl$ นับผิวโค้งด้านข้าง ถ้ารูปทรงเปิดอยู่ด้านหนึ่ง ให้ลบส่วนที่หายไปออก

พื้นที่ผิวหมายถึงอะไร

พื้นที่ผิวแตกต่างจากปริมาตร พื้นที่ผิววัดส่วนที่หุ้มอยู่ด้านนอกในหน่วยกำลังสอง ส่วนปริมาตรวัดเนื้อที่ภายในในหน่วยกำลังสาม

ความต่างนี้สำคัญ เพราะแต่ละสูตรตอบคำถามคนละแบบ การทาสีถัง การห่อกล่อง หรือการคลุมลูกบอล ใช้พื้นที่ผิว แต่การเติมของลงในถังใช้ปริมาตรแทน

วิธีเลือกสูตรพื้นที่ผิวให้ถูกต้อง

เริ่มจากถามสองคำถามนี้ก่อน:

1. รูปทรงคืออะไร?
2. โจทย์ให้ค่าการวัดอะไรมา?

ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกระบอกแทนรัศมี ให้แปลงก่อนด้วย $r = d/2$ ถ้าโจทย์ให้ความสูงตั้งฉากของทรงกรวย แต่ไม่ได้ให้ความยาวเอียง อย่านำความสูงตั้งฉากไปแทนใน $\pi r(r+l)$ โดยตรง

สำหรับทรงกรวยตรง ความยาวเอียงหาได้จากความสัมพันธ์พีทาโกรัส

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

โดยที่ $h$ คือความสูงตั้งฉาก

ตัวอย่างทำโจทย์: พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

สมมติว่าทรงกระบอกกลมตรงมีรัศมี $3$ ซม. และสูง $8$ ซม. จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมด

ใช้สูตร

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

แทนค่า $r = 3$ และ $h = 8$:

$$SA = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(8)$$ $$SA = 18\pi + 48\pi = 66\pi$$

ดังนั้นพื้นที่ผิวแบบค่าที่แน่นอนคือ

$$66\pi \text{ cm}^2$$

ถ้าต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม

$$66\pi \approx 207.3 \text{ cm}^2$$

คำตอบนี้สมเหตุสมผล เพราะทรงกระบอกมีฐานวงกลมสองด้านและผิวโค้งหนึ่งด้าน ซึ่งทั้งสามส่วนถูกนับรวมทั้งหมด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเรื่องพื้นที่ผิว

1. สับสนระหว่างพื้นที่ผิวกับปริมาตร พื้นที่ผิวใช้หน่วยกำลังสอง เช่น $\text{cm}^2$ ไม่ใช่หน่วยกำลังสาม
2. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางทั้งที่สูตรต้องใช้รัศมี
3. ลืมนับด้านใดด้านหนึ่งหรือฐานด้านใดด้านหนึ่ง โดยเฉพาะในลูกบาศก์ ปริซึม และทรงกระบอก
4. ใช้ความสูงตั้งฉากของทรงกรวยแทนความยาวเอียง
5. ใช้หน่วยปนกันก่อนคำนวณ เช่น ค่าหนึ่งเป็นเซนติเมตร แต่อีกค่าหนึ่งเป็นเมตร

พื้นที่ผิวถูกใช้เมื่อไรในโจทย์จริง

พื้นที่ผิวมีประโยชน์เมื่อคุณสนใจการหุ้ม การเคลือบ หรือการสัมผัสภายนอก ตัวอย่างที่พบบ่อยคือสีทาผนัง กระดาษห่อของขวัญสำหรับกล่อง วัสดุฉลากรอบกระป๋อง หรือวัสดุชั้นนอกของลูกบอล

สูตรต้องตรงกับวัตถุ สูตรทรงกลมเหมาะกับลูกบอล เพราะรูปร่างใกล้เคียงทรงกลม สูตรทรงกระบอกเหมาะกับกระป๋อง เพราะรูปร่างใกล้เคียงทรงกระบอกกลมตรง

วิธีคิดเรื่องพื้นที่ผิวแบบเร็ว ๆ

สำหรับรูปสองมิติ พื้นที่วัดบริเวณด้านใน สำหรับรูปทรงตัน พื้นที่ผิวคือผลรวมของพื้นที่ทุกด้านนอกหรือทุกผิวด้านนอก

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมหลายสูตรจึงมีลักษณะเหมือน “ผลบวกของหลายพื้นที่” ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรวมพื้นที่ของหน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้า 6 หน้า ทรงกระบอกรวมวงกลม 2 วงกับผิวโค้ง 1 ด้าน ทรงกรวยรวมวงกลม 1 วงกับผิวโค้ง 1 ด้าน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาด $4$ ซม. $5$ ซม. และ $7$ ซม. คำนวณพื้นที่ผิวภายนอกทั้งหมด แล้วตรวจว่าคำตอบของคุณอยู่ในหน่วยกำลังสอง

ถ้าต้องการไปอีกขั้น ให้หาปริมาตรของรูปทรงเดียวกันแล้วเปรียบเทียบหน่วย นี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการเลิกสับสนระหว่างพื้นที่ผิวกับปริมาตร