Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου — Τύπος και παραδείγματα

Το ολικό εμβαδόν επιφάνειας ενός κυλίνδρου είναι το άθροισμα των δύο κυκλικών άκρων του και της καμπύλης πλευράς του. Για έναν κλειστό ορθό κυκλικό κύλινδρο με ακτίνα $r$ και ύψος $h$, ο τύπος είναι

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Χρησιμοποίησέ τον όταν ο κύλινδρος είναι κλειστός. Αν η άσκηση ζητά μόνο την καμπύλη επιφάνεια, χρησιμοποίησε το $2\pi rh$. Αν λείπει η πάνω ή η κάτω βάση, αφαίρεσε το εμβαδόν του κύκλου που λείπει.

Επεξήγηση του τύπου για το εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου

Ο τύπος έχει δύο μέρη, επειδή το σχήμα έχει δύο διαφορετικά είδη επιφανειών.

Η πάνω και η κάτω επιφάνεια είναι κύκλοι. Καθεμία έχει εμβαδόν $\pi r^2$, άρα μαζί δίνουν

$$2\pi r^2$$

Η πλευρά είναι καμπύλη, αλλά μπορείς να τη φανταστείς σαν ένα ορθογώνιο τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο. Το ύψος του είναι $h$ και το πλάτος του είναι η περίμετρος της βάσης, $2\pi r$. Άρα το πλευρικό εμβαδόν είναι

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

Πρόσθεσε τους κύκλους και την πλευρά:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Αυτή είναι η βασική ιδέα που πρέπει να θυμάσαι: δύο κύκλοι συν ένα τυλιγμένο ορθογώνιο.

Λυμένο παράδειγμα: ακτίνα $3$ cm, ύψος $8$ cm

Έστω ότι ένας κλειστός κύλινδρος έχει ακτίνα $3$ cm και ύψος $8$ cm.

Γράφουμε τον τύπο:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Αντικαθιστούμε $r = 3$ και $h = 8$:

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

Υπολογίζουμε τα δύο μέρη:

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

Άρα το ακριβές εμβαδόν επιφάνειας είναι $66\pi\ \text{cm}^2$.

Αν χρειάζεσαι δεκαδική προσέγγιση, χρησιμοποίησε $\pi \approx 3.1416$:

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

Η απάντηση είναι σε τετραγωνικά εκατοστά, επειδή το εμβαδόν επιφάνειας μετρά κάλυψη και όχι τον χώρο στο εσωτερικό.

Ένας γρήγορος έλεγχος που εντοπίζει ένα συνηθισμένο λάθος

Αν υπολογίσεις μόνο την πλευρά,

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

έχεις βρει το πλευρικό εμβαδόν επιφάνειας, όχι το ολικό εμβαδόν επιφάνειας.

Για έναν κλειστό κύλινδρο, το ολικό πρέπει να είναι μεγαλύτερο, επειδή περιλαμβάνει και τις δύο κυκλικές βάσεις. Αυτή η γρήγορη σύγκριση είναι ένας εύκολος τρόπος να εντοπίσεις λάθος στο στήσιμο πριν ολοκληρώσεις τη λύση.

Συνηθισμένα λάθη στο εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου

1. Χρησιμοποιείς τη διάμετρο σαν να ήταν ακτίνα. Αν $d = 6$, τότε $r = 3$, όχι $6$.
2. Χρησιμοποιείς μόνο το $2\pi rh$ ενώ η άσκηση ζητά το ολικό εμβαδόν επιφάνειας.
3. Γράφεις κυβικές μονάδες. Το εμβαδόν επιφάνειας πρέπει να εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες όπως $\text{cm}^2$ ή $\text{m}^2$.
4. Ξεχνάς ότι ο τύπος αλλάζει αν ο κύλινδρος είναι ανοιχτός στο πάνω ή στο κάτω μέρος.
5. Μπερδεύεις το εμβαδόν επιφάνειας με τον όγκο. Το εμβαδόν επιφάνειας μετρά το εξωτερικό, ενώ ο όγκος μετρά τον χώρο στο εσωτερικό.

Πότε να χρησιμοποιείς τον τύπο του εμβαδού επιφάνειας

Χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο όταν χρειάζεσαι την εξωτερική κάλυψη ενός κλειστού κυλινδρικού αντικειμένου. Τυπικά παραδείγματα είναι το μέταλλο που χρειάζεται για ένα κουτί, η επιφάνεια της ετικέτας γύρω από ένα δοχείο ή η βαμμένη επιφάνεια σε ένα κυλινδρικό εξάρτημα.

Η συνθήκη έχει σημασία. Αν χρειάζεσαι μόνο την πλευρική κάλυψη, χρησιμοποίησε το $2\pi rh$. Αν λείπει μία βάση, αφαίρεσε $\pi r^2$. Αν λείπουν και οι δύο, το αποτέλεσμα είναι μόνο το πλευρικό εμβαδόν. Αν το σχήμα δεν είναι ορθός κυκλικός κύλινδρος, αυτός ο τύπος είναι μόνο μια προσέγγιση.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ακτίνα $5$ cm και ύψος $12$ cm. Πρώτα βρες το πλευρικό εμβαδόν και μετά πρόσθεσε τις δύο κυκλικές βάσεις. Αν θέλεις ένα ακόμη επόμενο βήμα, λύσε ένα παρόμοιο πρόβλημα και σύγκρινε το στήσιμό σου πριν απλοποιήσεις.