원기둥의 겉넓이 — 공식과 예제

원기둥의 전체 겉넓이는 위아래 두 원형 밑면의 넓이와 옆의 곡면 넓이를 더한 값입니다. 반지름이 $r$, 높이가 $h$인 닫힌 직원기둥의 공식은 다음과 같습니다.

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

이 공식은 원기둥이 닫혀 있을 때 사용합니다. 문제에서 곡면만 묻는다면 $2\pi rh$를 사용하세요. 위나 아래가 하나 빠져 있다면, 빠진 원의 넓이만큼 빼면 됩니다.

원기둥의 겉넓이 공식 설명

이 공식이 두 부분으로 나뉘는 이유는 도형의 표면이 서로 다른 두 종류로 이루어져 있기 때문입니다.

위와 아래는 원입니다. 각각의 넓이는 $\pi r^2$이므로, 둘을 합하면 다음과 같습니다.

$$2\pi r^2$$

옆면은 곡면이지만, 원기둥을 펼친다고 생각하면 직사각형으로 볼 수 있습니다. 이 직사각형의 높이는 $h$이고, 가로는 밑면의 둘레인 $2\pi r$입니다. 따라서 옆넓이는 다음과 같습니다.

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

이제 두 원의 넓이와 옆면의 넓이를 더하면 됩니다.

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

기억해야 할 핵심은 이것입니다. 원 두 개의 넓이와, 둘레를 감아 만든 직사각형 하나의 넓이를 더합니다.

풀이 예제: 반지름 $3$ cm, 높이 $8$ cm

닫힌 원기둥의 반지름이 $3$ cm, 높이가 $8$ cm라고 해 봅시다.

공식을 씁니다.

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

여기에 $r = 3$, $h = 8$을 대입합니다.

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

두 부분을 계산합니다.

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

따라서 정확한 겉넓이는 $66\pi\ \text{cm}^2$입니다.

소수값이 필요하다면 $\pi \approx 3.1416$을 사용합니다.

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

겉넓이는 안쪽의 공간이 아니라 표면을 덮는 넓이를 나타내므로, 답의 단위는 제곱센티미터입니다.

자주 하는 실수를 잡아내는 빠른 확인 한 가지

만약 옆면만 계산해서

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

를 얻었다면, 그것은 전체 겉넓이가 아니라 옆넓이입니다.

닫힌 원기둥의 전체 겉넓이는 위아래 두 원형 밑면도 포함하므로 이 값보다 더 커야 합니다. 이렇게 빠르게 비교해 보면 계산을 끝내기 전에 식을 잘못 세운 실수를 쉽게 찾을 수 있습니다.

원기둥의 겉넓이에서 자주 하는 실수

1. 지름을 반지름처럼 사용하는 경우입니다. $d = 6$이면 $r = 3$이지 $6$이 아닙니다.
2. 문제에서 전체 겉넓이를 묻는데 $2\pi rh$만 사용하는 경우입니다.
3. 세제곱단위를 쓰는 경우입니다. 겉넓이는 $\text{cm}^2$나 $\text{m}^2$처럼 제곱단위를 써야 합니다.
4. 원기둥의 위나 아래가 열려 있으면 공식이 달라진다는 점을 잊는 경우입니다.
5. 겉넓이와 부피를 혼동하는 경우입니다. 겉넓이는 바깥 표면을, 부피는 안쪽 공간을 나타냅니다.

겉넓이 공식을 언제 사용하나요?

닫힌 원기둥 모양 물체의 바깥을 덮는 넓이가 필요할 때 이 공식을 사용합니다. 예를 들어 캔을 만드는 데 필요한 금속의 넓이, 용기 둘레에 붙는 라벨의 넓이, 또는 원기둥 부품에 칠할 면적을 구할 때 자주 쓰입니다.

조건을 꼭 확인해야 합니다. 옆면만 필요하면 $2\pi rh$를 사용합니다. 밑면 하나가 없으면 $\pi r^2$를 빼세요. 두 밑면이 모두 없으면 결과는 옆넓이만 남습니다. 도형이 직원기둥이 아니라면 이 공식은 근사값으로만 볼 수 있습니다.

직접 한번 해 보세요

반지름이 $5$ cm, 높이가 $12$ cm인 경우를 직접 풀어 보세요. 먼저 옆넓이를 구한 뒤, 두 원형 밑면의 넓이를 더하면 됩니다. 다음 단계로 더 연습하고 싶다면 비슷한 문제를 하나 더 풀고, 계산을 단순화하기 전에 식을 먼저 비교해 보세요.