Diện tích toàn phần hình trụ — Công thức & Ví dụ

Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích của hai đáy hình tròn và mặt xung quanh. Với hình trụ tròn xoay kín có bán kính $r$ và chiều cao $h$, công thức là

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Dùng công thức này khi hình trụ là hình kín. Nếu bài toán chỉ hỏi diện tích mặt xung quanh, dùng $2\pi rh$. Nếu thiếu mặt trên hoặc mặt dưới, hãy trừ đi diện tích của hình tròn bị thiếu.

Giải thích công thức diện tích toàn phần của hình trụ

Công thức có hai phần vì hình này có hai loại bề mặt khác nhau.

Mặt trên và mặt dưới là hai hình tròn. Mỗi hình có diện tích $\pi r^2$, nên cộng lại được

$$2\pi r^2$$

Mặt bên là mặt cong, nhưng bạn có thể hình dung nó như một hình chữ nhật quấn quanh hình trụ. Chiều cao của nó là $h$, và chiều rộng là chu vi đáy, tức $2\pi r$. Vì vậy diện tích xung quanh là

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

Cộng diện tích hai đáy và mặt bên:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Ý chính cần nhớ là: hai hình tròn cộng với một hình chữ nhật quấn quanh.

Ví dụ có lời giải: bán kính $3$ cm, chiều cao $8$ cm

Giả sử một hình trụ kín có bán kính $3$ cm và chiều cao $8$ cm.

Viết công thức:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Thay $r = 3$ và $h = 8$ vào:

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

Tính hai phần:

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

Vậy diện tích toàn phần chính xác là $66\pi\ \text{cm}^2$.

Nếu cần giá trị gần đúng thập phân, dùng $\pi \approx 3.1416$:

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

Đáp án dùng đơn vị xăng-ti-mét vuông vì diện tích bề mặt đo phần bao phủ, không phải không gian bên trong.

Một cách kiểm tra nhanh để phát hiện lỗi thường gặp

Nếu bạn chỉ tính mặt bên,

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

thì bạn mới tìm được diện tích xung quanh, chưa phải diện tích toàn phần.

Với hình trụ kín, diện tích toàn phần phải lớn hơn vì còn gồm cả hai đáy hình tròn. So sánh nhanh như vậy là cách đơn giản để phát hiện lỗi thiết lập trước khi làm xong.

Những lỗi thường gặp khi tính diện tích toàn phần hình trụ

1. Dùng đường kính như thể đó là bán kính. Nếu $d = 6$ thì $r = 3$, không phải $6$.
2. Chỉ dùng $2\pi rh$ khi đề bài hỏi diện tích toàn phần.
3. Viết đơn vị khối. Diện tích bề mặt phải dùng đơn vị vuông như $\text{cm}^2$ hoặc $\text{m}^2$.
4. Quên rằng công thức sẽ thay đổi nếu hình trụ bị hở ở mặt trên hoặc mặt dưới.
5. Nhầm diện tích bề mặt với thể tích. Diện tích bề mặt đo phần bên ngoài; thể tích đo không gian bên trong.

Khi nào dùng công thức diện tích toàn phần

Dùng công thức này khi bạn cần tính phần bao phủ bên ngoài của một vật thể hình trụ kín. Những ví dụ quen thuộc là lượng kim loại cần để làm một cái lon, diện tích nhãn quấn quanh một hộp đựng, hoặc diện tích cần sơn trên một chi tiết hình trụ.

Điều kiện của bài toán rất quan trọng. Nếu chỉ cần phần bao phủ mặt bên, dùng $2\pi rh$. Nếu thiếu một đáy, trừ $\pi r^2$. Nếu thiếu cả hai đáy, kết quả chỉ còn là diện tích xung quanh. Nếu hình không phải là hình trụ tròn xoay đứng, công thức này chỉ là một phép gần đúng.

Tự thử một bài tương tự

Hãy thử với bán kính $5$ cm và chiều cao $12$ cm. Trước tiên tính diện tích mặt bên, rồi cộng thêm diện tích của hai đáy hình tròn. Nếu muốn luyện thêm, hãy giải một bài tương tự và so sánh cách thiết lập của bạn trước khi rút gọn.