Área da superfície de um cilindro — fórmula e exemplos

A área total da superfície de um cilindro é a soma das áreas de suas duas extremidades circulares com a área da lateral curva. Para um cilindro circular reto fechado com raio $r$ e altura $h$, a fórmula é

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Use isso quando o cilindro estiver fechado. Se o problema pedir apenas a superfície curva, use $2\pi rh$. Se estiver faltando o topo ou a base, subtraia a área do círculo que falta.

Fórmula da área da superfície de um cilindro explicada

A fórmula tem duas partes porque a figura tem dois tipos diferentes de superfície.

O topo e a base são círculos. Cada um tem área $\pi r^2$, então juntos dão

$$2\pi r^2$$

A lateral é curva, mas você pode imaginá-la como um retângulo enrolado em volta do cilindro. Sua altura é $h$, e sua largura é o comprimento da circunferência da base, $2\pi r$. Isso faz com que a área lateral seja

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

Some os círculos e a lateral:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Essa é a ideia principal para lembrar: dois círculos mais um retângulo enrolado.

Exemplo resolvido: raio $3$ cm, altura $8$ cm

Suponha que um cilindro fechado tenha raio $3$ cm e altura $8$ cm.

Escreva a fórmula:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Substitua $r = 3$ e $h = 8$:

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

Calcule as duas partes:

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

Então, a área exata da superfície é $66\pi\ \text{cm}^2$.

Se você precisar de uma aproximação decimal, use $\pi \approx 3.1416$:

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

A resposta está em centímetros quadrados porque a área da superfície mede revestimento, não o espaço interno.

Uma verificação rápida que detecta um erro comum

Se você calcular apenas a lateral,

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

você encontrou a área lateral, não a área total da superfície.

Para um cilindro fechado, o total precisa ser maior porque também inclui duas bases circulares. Essa comparação rápida é uma forma simples de detectar um erro na montagem antes de terminar.

Erros comuns na área da superfície de um cilindro

1. Usar o diâmetro como se fosse o raio. Se $d = 6$, então $r = 3$, não $6$.
2. Usar apenas $2\pi rh$ quando a questão pede a área total da superfície.
3. Escrever unidades cúbicas. A área da superfície deve usar unidades quadradas, como $\text{cm}^2$ ou $\text{m}^2$.
4. Esquecer que a fórmula muda se o cilindro estiver aberto em cima ou embaixo.
5. Confundir área da superfície com volume. A área da superfície mede a parte externa; o volume mede o espaço interno.

Quando usar a fórmula da área da superfície

Use esta fórmula quando você precisar do revestimento externo de um objeto cilíndrico fechado. Exemplos típicos são o metal necessário para uma lata, a área do rótulo ao redor de um recipiente ou a área pintada em uma peça cilíndrica.

A condição importa. Se você precisar apenas do revestimento lateral, use $2\pi rh$. Se faltar uma base, subtraia $\pi r^2$. Se faltarem as duas, o resultado será apenas a área lateral. Se a figura não for um cilindro circular reto, esta fórmula será apenas uma aproximação.

Tente sua própria versão

Tente sua própria versão com raio $5$ cm e altura $12$ cm. Primeiro encontre a área lateral e depois some as duas bases circulares. Se quiser um próximo passo, resolva um problema parecido e compare sua montagem antes de simplificar.