円柱の表面積 — 公式と例題

円柱の表面積は、上下2つの円の面積と側面の曲面の面積を合わせたものです。半径 $r$、高さ $h$ のふた付きの直円柱では、公式は

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

です。

この公式は、円柱が閉じているときに使います。問題が曲面部分だけを求めるなら、$2\pi rh$ を使います。上面または下面がない場合は、ないほうの円の面積を引きます。

円柱の表面積の公式の考え方

この公式が2つの部分に分かれているのは、円柱に2種類の面があるからです。

上面と下面は円です。1つの面積は $\pi r^2$ なので、2つ合わせると

$$2\pi r^2$$

になります。

側面は曲がっていますが、切り開くと長方形と考えられます。高さは $h$、横の長さは底面の円周 $2\pi r$ です。したがって、側面積は

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

になります。

円2つ分と側面を足すと、

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

です。

覚えるポイントはこれです。円が2つと、巻きついた長方形が1つです。

例題：半径 $3$ cm、高さ $8$ cm

ふた付きの円柱の半径が $3$ cm、高さが $8$ cm だとします。

まず公式を書きます。

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

ここに $r = 3$、$h = 8$ を代入します。

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

2つの部分を計算すると、

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

したがって、正確な表面積は $66\pi\ \text{cm}^2$ です。

小数で近似したいときは、$\pi \approx 3.1416$ を使います。

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

表面積は中の空間ではなく表面の広がりを表すので、答えの単位は平方センチメートルになります。

よくあるミスを見つける簡単な確認

もし側面だけを計算して

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

となったなら、求めたのは表面積全体ではなく側面積です。

ふた付きの円柱では、全体の表面積は上下2つの円も含むので、これより大きくなるはずです。この比較をしておくと、計算を終える前に式の立て方のミスに気づけます。

円柱の表面積でよくある間違い

1. 直径をそのまま半径として使ってしまうこと。たとえば $d = 6$ なら、$r = 3$ であって $6$ ではありません。
2. 問題が表面積全体を聞いているのに、$2\pi rh$ だけを使ってしまうこと。
3. 立方単位で書いてしまうこと。表面積は $\text{cm}^2$ や $\text{m}^2$ のような平方単位で表します。
4. 上面または下面が開いていると、公式が変わることを忘れること。
5. 表面積と体積を混同すること。表面積は外側、体積は内側の空間を表します。

表面積の公式を使う場面

この公式は、閉じた円柱形の物体の外側をおおう面積が必要なときに使います。たとえば、缶に必要な金属の量、容器のまわりに貼るラベルの面積、円柱形の部品に塗る面積などです。

条件の確認は大切です。側面だけが必要なら $2\pi rh$ を使います。底面が1つないなら $\pi r^2$ を引きます。上下ともないなら、答えは側面積だけです。形が直円柱でない場合、この公式は近似にしかなりません。

自分でもやってみよう

半径 $5$ cm、高さ $12$ cm で自分でもやってみましょう。まず側面積を求め、そのあと上下2つの円の面積を足します。次の練習としては、似た問題を1問解いて、式の立て方が合っているか簡単化する前に比べてみてください。