Silindirin Yüzey Alanı — Formül ve Örnekler

Bir silindirin toplam yüzey alanı, iki dairesel ucunun alanı ile eğri yan yüzeyinin alanının toplamıdır. Yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan kapalı dik dairesel silindir için formül şöyledir:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Bu formülü silindir kapalı olduğunda kullanın. Soru yalnızca eğri yan yüzeyi istiyorsa $2\pi rh$ kullanın. Üst ya da alt taban yoksa, eksik dairenin alanını çıkarın.

Silindirin yüzey alanı formülü açıklaması

Formül iki parçadan oluşur çünkü şeklin iki farklı türde yüzeyi vardır.

Üst ve alt kısımlar dairedir. Her birinin alanı $\pi r^2$ olduğundan birlikte

$$2\pi r^2$$

eder.

Yan yüzey eğridir, ancak bunu silindirin etrafına sarılmış bir dikdörtgen gibi düşünebilirsiniz. Yüksekliği $h$, genişliği ise tabanın çevresi olan $2\pi r$ olur. Bu da yanal alanı

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

yapar.

Daireleri ve yan yüzeyi toplayın:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Hatırlanması gereken temel fikir şudur: iki daire artı sarılmış bir dikdörtgen.

Çözümlü örnek: yarıçap $3$ cm, yükseklik $8$ cm

Kapalı bir silindirin yarıçapının $3$ cm, yüksekliğinin $8$ cm olduğunu düşünelim.

Formülü yazın:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

$r = 3$ ve $h = 8$ değerlerini yerine koyun:

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

İki kısmı hesaplayın:

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

Buna göre tam yüzey alanı $66\pi\ \text{cm}^2$ olur.

Ondalıklı yaklaşık değer gerekiyorsa $\pi \approx 3.1416$ kullanın:

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

Cevap santimetrekare cinsindendir çünkü yüzey alanı kaplanan dış yüzeyi ölçer, iç hacmi değil.

Yaygın bir hatayı yakalayan hızlı bir kontrol

Yalnızca yan yüzeyi hesaplarsanız,

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

toplam yüzey alanını değil, yanal yüzey alanını bulmuş olursunuz.

Kapalı bir silindirde toplam alan bundan büyük olmalıdır çünkü iki dairesel tabanı da içerir. Bu hızlı karşılaştırma, işlemi bitirmeden önce kurulum hatasını fark etmenin kolay bir yoludur.

Silindirin yüzey alanında sık yapılan hatalar

1. Çapı yarıçapmış gibi kullanmak. Eğer $d = 6$ ise, $r = 3$ olur; $6$ değil.
2. Soru toplam yüzey alanını istediğinde yalnızca $2\pi rh$ kullanmak.
3. Küp birim yazmak. Yüzey alanı için $\text{cm}^2$ veya $\text{m}^2$ gibi kare birimler kullanılmalıdır.
4. Silindir üstten ya da alttan açıksa formülün değiştiğini unutmak.
5. Yüzey alanını hacimle karıştırmak. Yüzey alanı dış kısmı, hacim ise içteki boşluğu ölçer.

Yüzey alanı formülü ne zaman kullanılır?

Bu formülü, kapalı silindirik bir cismin dış kaplama alanını bulmanız gerektiğinde kullanın. Tipik örnekler; bir kutu için gereken metal miktarı, bir kabın etrafındaki etiket alanı veya silindirik bir parçanın boyanacak alanıdır.

Durum önemlidir. Yalnızca yan kaplama gerekiyorsa $2\pi rh$ kullanın. Bir taban eksikse $\pi r^2$ çıkarın. İki taban da yoksa sonuç yalnızca yanal alandır. Şekil dik dairesel silindir değilse bu formül yalnızca yaklaşık sonuç verir.

Kendi örneğinizi deneyin

Yarıçapı $5$ cm ve yüksekliği $12$ cm olan bir örneği siz deneyin. Önce yan alanı bulun, sonra iki dairesel tabanı ekleyin. Bir sonraki adım için benzer bir soru çözebilir ve sadeleştirmeden önce kurulumunuzu karşılaştırabilirsiniz.