การแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองคือการเขียนสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน แล้วหาค่าของ $x$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง รูปมาตรฐานคือ

$$ax^2 + bx + c = 0$$

โดยที่ $a \ne 0$ โจทย์ส่วนใหญ่ที่นักเรียนพบมักใช้ได้กับ 3 วิธีหลัก คือ การแยกตัวประกอบ การทำกำลังสองสมบูรณ์ หรือการใช้สูตรกำลังสอง ทักษะสำคัญคือการเลือกวิธีที่ง่ายที่สุดให้เหมาะกับสมการที่อยู่ตรงหน้า

การแก้สมการกำลังสองหมายถึงอะไร

คุณกำลังมองหาราก หรือคำตอบ ของสมการ บนกราฟ ค่านี้คือค่า $x$ ที่พาราโบลาตัดกับแกน $x$

สมการกำลังสองอาจมีคำตอบจริง 2 ค่า มีคำตอบจริงซ้ำ 1 ค่า หรือไม่มีคำตอบจริงเลย ถ้าคุณทำงานในระบบจำนวนเชิงซ้อน สมการกำลังสองทุกสมการยังคงมีคำตอบ 2 ค่านับตามพหุคูณ

วิธีเลือกใช้วิธีแก้

ก่อนเริ่มจัดรูปพีชคณิต ให้ย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียวเพื่อให้อีกข้างเป็น $0$ วิธีนี้ช่วยให้เห็นโครงสร้างของสมการชัดขึ้น และช่วยตัดสินใจได้ว่าวิธีไหนเหมาะที่สุด

• ถ้านิพจน์แยกตัวประกอบได้ง่าย การแยกตัวประกอบมักเป็นวิธีที่เร็วที่สุด
• ถ้าสมการมีรูปใกล้เคียงกำลังสองสมบูรณ์ การทำกำลังสองสมบูรณ์อาจมีประสิทธิภาพ
• ถ้าทั้งสองวิธีไม่สะดวก สูตรกำลังสองใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกสมการ

ยังมีตัวช่วยลัดอีกอย่างคือ ค่าจำแนก

$$b^2 - 4ac$$

ซึ่งบอกได้ว่าควรคาดหวังคำตอบจริงแบบใด

• ถ้า $b^2 - 4ac > 0$ จะมีคำตอบจริง 2 ค่าที่ต่างกัน
• ถ้า $b^2 - 4ac = 0$ จะมีคำตอบจริงซ้ำ 1 ค่า
• ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ จะไม่มีคำตอบจริง

สิ่งนี้ยังไม่ได้แก้สมการให้เสร็จด้วยตัวมันเอง แต่ช่วยบอกล่วงหน้าว่าคำตอบแบบไหนจึงสมเหตุสมผลก่อนที่คุณจะเริ่มคำนวณ

3 วิธีหลัก

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบใช้ได้เมื่อสมการกำลังสองสามารถเขียนใหม่เป็นผลคูณได้ เช่น

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

จากนั้นใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์: ถ้าผลคูณมีค่าเป็น $0$ อย่างน้อยหนึ่งตัวประกอบต้องเป็น $0$ ดังนั้นคำตอบคือ $x = 2$ และ $x = 3$

การทำกำลังสองสมบูรณ์

การทำกำลังสองสมบูรณ์คือการเขียนสมการกำลังสองใหม่ให้อยู่ในรูปประมาณว่า

$$(x - h)^2 = k$$

วิธีนี้มีประโยชน์มากเมื่อการแยกตัวประกอบทำได้ยาก และคุณต้องการมองสมการในรูปของนิพจน์ที่เป็นกำลังสอง

สูตรกำลังสอง

สูตรกำลังสองใช้ได้เสมอเมื่อสมการอยู่ในรูปมาตรฐาน:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

นี่เป็นวิธีทั่วไปที่เชื่อถือได้มากที่สุด แต่ก็ไม่ใช่วิธีที่เร็วที่สุดเสมอไป ถ้าสมการนั้นแยกตัวประกอบได้ทันที

ตัวอย่าง: แก้ $x^2 - 5x + 6 = 0$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว ดังนั้นให้ตรวจดูก่อนว่าสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ คุณต้องหาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ $6$ และบวกกันได้ $-5$ จำนวนนั้นคือ $-2$ และ $-3$ ดังนั้น

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

ตอนนี้แก้สมการ

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

จากนั้นตั้งให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์:

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0$$

ดังนั้นคำตอบคือ

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3$$

ตรวจคำตอบทั้งสองค่าในสมการเดิม:

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

ทั้งสองค่าตรวจสอบแล้วถูกต้อง ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือเลือกวิธีแก้ก่อนที่จะย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียว ตัวอย่างเช่น การแก้ $x^2 = 5x - 6$ จะง่ายขึ้นมากเมื่อเขียนใหม่เป็น $x^2 - 5x + 6 = 0$

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือทำคำตอบหายไปหนึ่งค่า สมการกำลังสองอาจมีคำตอบจริง 2 ค่า ดังนั้นหลังจากแยกตัวประกอบหรือใช้เครื่องหมาย $\pm$ ในสูตรกำลังสอง ต้องแน่ใจว่าคุณเก็บคำตอบทั้งสองกรณีไว้เมื่อมีอยู่

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือใช้สูตรกำลังสองโดยใส่เครื่องหมายของ $a$, $b$ หรือ $c$ ผิด ซึ่งมักเกิดขึ้นเมื่อยังไม่ได้เขียนสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานก่อน

เรื่องนี้ใช้ที่ไหน

สมการกำลังสองพบได้ในพีชคณิต การเขียนกราฟ การหาค่าสูงสุดต่ำสุด และโจทย์การเคลื่อนที่ ถ้าความสัมพันธ์มีตัวแปรยกกำลังสอง การแก้สมการกำลังสองมักเป็นขั้นตอนที่ให้ค่าของ $x$ ที่มีความหมาย

วิธีที่ใช้ขึ้นอยู่กับสมการ ถ้าเป็นสมการที่แยกตัวประกอบได้สวย ก็อาศัยการสังเกตรูปแบบได้ดี แต่ถ้าสมการซับซ้อนกว่า มักเหมาะกับการใช้สูตรกำลังสองมากกว่า

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแก้ $x^2 - 7x + 12 = 0$ และเลือกวิธีก่อนเริ่มคำนวณ ขั้นต่อไปที่มีประโยชน์คือแก้สมการเดียวกันทั้งด้วยการแยกตัวประกอบและด้วยสูตรกำลังสอง แล้วเปรียบเทียบว่าวิธีไหนตรงไปตรงมามากกว่า