Ecuación de una circunferencia

La ecuación de una circunferencia te dice qué puntos están a una distancia fija de un punto central. Si una circunferencia tiene centro $(h, k)$ y radio $r$, su ecuación estándar es

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Esto funciona porque cada punto $(x, y)$ de la circunferencia está exactamente a $r$ unidades del centro. Si el centro está en el origen, la ecuación se convierte en

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Esa es la forma más rápida de reconocer una circunferencia en geometría analítica.

Qué significa la ecuación

La expresión $x - h$ mide la distancia horizontal desde el centro, y $y - k$ mide la distancia vertical desde el centro. Al elevar esas distancias al cuadrado y sumarlas, se obtiene la fórmula de la distancia:

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

Para los puntos de la circunferencia, esa distancia al cuadrado debe ser igual a $r^2$. Así que la ecuación es, en realidad, una forma compacta de decir: "cada punto aquí está a la misma distancia del centro".

Intuición

Piensa en el centro como un punto fijo. Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están exactamente a un radio de ese punto. La ecuación no describe un solo punto. Describe todo el borde formado por todos esos puntos.

Por eso el radio también importa tanto. Si cambias $r$, el centro sigue siendo el mismo, pero la circunferencia crece o se hace más pequeña.

Un ejemplo resuelto

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro $(3, -2)$ y radio $5$.

Empieza con la forma estándar:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Sustituye $h = 3$, $k = -2$ y $r = 5$:

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

Simplifica:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Esa es la ecuación de la circunferencia.

Puedes comprobarlo con un punto que debería estar en la circunferencia. El punto $(8, -2)$ está a $5$ unidades a la derecha del centro, así que debería funcionar:

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

Y sí funciona, así que la ecuación es consistente con el centro y el radio.

Errores comunes

1. Leer el centro directamente a partir de los signos. En $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, el centro es $(3, -2)$, no $(3, 2)$.
2. Olvidar elevar el radio al cuadrado. Si el radio es $5$, el lado derecho es $25$, no $5$.
3. Usar el diámetro como si fuera el radio. Si te dan el diámetro, primero divídelo entre $2$.
4. Esperar una circunferencia real cuando $r^2$ es negativo. Una ecuación como $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ no tiene puntos reales.

Casos especiales importantes

Si $r > 0$, la ecuación describe una circunferencia real.

Si $r = 0$, la ecuación describe exactamente un punto: el propio centro.

Si $r^2 < 0$, no existe una circunferencia real, porque las distancias al cuadrado no pueden ser negativas.

Cuándo se usa este concepto

La ecuación de una circunferencia aparece en geometría de coordenadas, geometría analítica y precálculo. Se usa para graficar circunferencias, determinar si un punto pertenece a una circunferencia, modelar la distancia desde una ubicación fija y reescribir ecuaciones más complicadas en una forma reconocible de circunferencia.

También se relaciona de forma natural con la fórmula de la distancia y con completar el cuadrado, que suele ser la manera de convertir una ecuación más larga en la forma estándar de una circunferencia.

Una buena comprobación mental

Cuando veas $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, hazte dos preguntas rápidas:

1. ¿Qué centro indican los signos?
2. ¿El lado derecho es realmente el radio al cuadrado?

Esas dos comprobaciones detectan la mayoría de los errores.

Prueba tu propia versión

Intenta escribir la ecuación de la circunferencia con centro $(-4, 1)$ y radio $3$. Luego comprueba si el punto $(-1, 1)$ pertenece a ella. Si quieres ir un paso más allá, explora otro caso empezando con una ecuación más larga y reescribiéndola en la forma estándar de una circunferencia.