Równanie okręgu

Równanie okręgu mówi, które punkty są w stałej odległości od jednego punktu zwanego środkiem. Jeśli okrąg ma środek $(h, k)$ i promień $r$, to jego postać kanoniczna jest następująca:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

To działa, ponieważ każdy punkt $(x, y)$ leżący na okręgu znajduje się dokładnie w odległości $r$ od środka. Jeśli środek jest w początku układu współrzędnych, równanie przyjmuje postać

$$x^2 + y^2 = r^2$$

To najszybszy sposób rozpoznania okręgu w geometrii analitycznej.

Co oznacza to równanie

Wyrażenie $x - h$ mierzy odległość poziomą od środka, a $y - k$ mierzy odległość pionową od środka. Podniesienie tych odległości do kwadratu i ich zsumowanie odpowiada wzorowi na odległość:

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

Dla punktów leżących na okręgu ta odległość do kwadratu musi być równa $r^2$. To znaczy, że równanie jest po prostu zwartym zapisem zdania: „każdy punkt tutaj pozostaje w tej samej odległości od środka”.

Intuicja

Pomyśl o środku jak o punkcie zaczepienia. Okrąg to zbiór wszystkich punktów, które pozostają dokładnie o jeden promień od tego punktu. Równanie nie opisuje jednego punktu. Opisuje całą krawędź utworzoną przez wszystkie takie punkty.

Dlatego właśnie promień jest tak ważny. Jeśli zmienisz $r$, środek pozostaje ten sam, ale okrąg się powiększa albo zmniejsza.

Jeden rozwiązany przykład

Zapisz równanie okręgu o środku $(3, -2)$ i promieniu $5$.

Zacznij od postaci kanonicznej:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Podstaw $h = 3$, $k = -2$ oraz $r = 5$:

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

Uprość:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

To jest równanie tego okręgu.

Możesz sprawdzić je na punkcie, który powinien leżeć na okręgu. Punkt $(8, -2)$ leży $5$ jednostek na prawo od środka, więc powinien pasować:

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

Tak jest, więc równanie zgadza się z podanym środkiem i promieniem.

Typowe błędy

1. Odczytywanie środka bezpośrednio ze znaków. W równaniu $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ środek to $(3, -2)$, a nie $(3, 2)$.
2. Zapominanie o podniesieniu promienia do kwadratu. Jeśli promień wynosi $5$, po prawej stronie powinno być $25$, a nie $5$.
3. Traktowanie średnicy tak, jakby była promieniem. Jeśli podano średnicę, najpierw podziel ją przez $2$.
4. Oczekiwanie rzeczywistego okręgu, gdy $r^2$ jest ujemne. Równanie takie jak $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ nie ma punktów rzeczywistych.

Ważne przypadki szczególne

Jeśli $r > 0$, równanie opisuje rzeczywisty okrąg.

Jeśli $r = 0$, równanie opisuje dokładnie jeden punkt, czyli sam środek.

Jeśli $r^2 < 0$, nie istnieje rzeczywisty okrąg, ponieważ kwadraty odległości nie mogą być ujemne.

Gdzie używa się tego pojęcia

Równanie okręgu pojawia się w geometrii współrzędnych, geometrii analitycznej i w kursach przygotowujących do analizy matematycznej. Służy do rysowania okręgów, sprawdzania, czy punkt leży na okręgu, modelowania odległości od ustalonego miejsca oraz przekształcania bardziej złożonych równań do rozpoznawalnej postaci okręgu.

Łączy się też naturalnie ze wzorem na odległość oraz z uzupełnianiem do kwadratu, które często pozwala przekształcić dłuższe równanie do standardowej postaci okręgu.

Dobra szybka kontrola

Gdy patrzysz na równanie $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, zadaj sobie dwa krótkie pytania:

1. Jaki środek wynika z tych znaków?
2. Czy prawa strona to na pewno promień podniesiony do kwadratu?

Te dwa sprawdzenia wychwytują większość błędów.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj zapisać równanie okręgu o środku $(-4, 1)$ i promieniu $3$. Następnie sprawdź, czy punkt $(-1, 1)$ leży na tym okręgu. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, przeanalizuj jeszcze jeden przypadek, zaczynając od dłuższego równania i przekształcając je do standardowej postaci okręgu.