การแทนค่า u ในการอินทิเกรต

การแทนค่า u เป็นวิธีมาตรฐานในการอินทิเกรตสำหรับนิพจน์อย่าง $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ โดยเลือกนิพจน์ด้านในเป็น $u$ แทนส่วนของอนุพันธ์ที่ตรงกันด้วย $du$ แล้วเปลี่ยนอินทิกรัลให้เป็นรูปที่ง่ายขึ้น

ใช้วิธีนี้เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันอย่างชัดเจน และอนุพันธ์ของนิพจน์ด้านในก็ปรากฏอยู่ด้วย ทั้งแบบตรงตัวหรือแตกต่างกันเพียงค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์

การแทนค่า U หมายถึงอะไร

รูปแบบคือ

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$

ถ้ากำหนดให้ $u = g(x)$ จะได้ว่า $du = g'(x)\,dx$ ดังนั้นอินทิกรัลจะกลายเป็น

$$\int f(u)\,du$$

นี่คือแนวคิดทั้งหมด นิพจน์ด้านในที่ดูยุ่งยากจะถูกแทนด้วยตัวแปรเดียว ทำให้มองเห็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขตได้ง่ายขึ้น

จะสังเกตได้อย่างไรว่าเมื่อไรการแทนค่า U ใช้ได้ผล

การแทนค่า u ใช้ได้ดีที่สุดเมื่ออินทิแกรนด์มีโครงสร้างแบบฟังก์ชันประกอบอย่างชัดเจน พูดง่าย ๆ คือ มีฟังก์ชันหนึ่งอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง และมีบางรูปแบบของอนุพันธ์ของนิพจน์ด้านในปรากฏอยู่ด้วย

รูปแบบที่พบบ่อย ได้แก่ กำลังอย่าง $(x^2+1)^5$, รากอย่าง $\sqrt{3x-2}$, เอ็กซ์โพเนนเชียลอย่าง $e^{x^2}$ และนิพจน์ตรีโกณมิติอย่าง $\cos(x^3)$

ถ้าอนุพันธ์ของนิพจน์ด้านในหายไปทั้งหมด การแทนค่าอาจไม่ช่วยอะไร แต่ถ้าต่างกันเพียงค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ก็มักแก้ได้ด้วยการดึงค่าคงที่เข้าออกก่อน

ตัวอย่างแบบทำครบ: $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$

จงหา

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

ส่วนตัวส่วนมีนิพจน์ด้านในคือ $x^2+1$ และอนุพันธ์ของมันคือ $2x$ ส่วนตัวเศษมีเพียงครึ่งหนึ่งของค่านั้น ซึ่งใกล้เคียงพอสำหรับการแทนค่า

ให้

$$u = x^2 + 1$$

แล้วจะได้

$$du = 2x\,dx$$

ดังนั้น

$$x\,dx = \frac{1}{2}du$$

เขียนอินทิกรัลใหม่:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$$

ตอนนี้อินทิเกรตได้เป็น

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

แทนกลับ:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$

เนื่องจาก $x^2+1 > 0$ สำหรับทุกค่า $x$ จริง การเขียน $\ln(x^2+1)$ จึงใช้ได้ในที่นี้

ทำไมการแทนค่า U จึงสมเหตุสมผล

การหาอนุพันธ์ด้วยกฎลูกโซ่บอกว่า ฟังก์ชันชั้นนอกจะมีตัวคูณจากอนุพันธ์ของนิพจน์ด้านในติดมาด้วย การแทนค่า u คือการย้อนกระบวนการนั้น มันรวบรวมนิพจน์ด้านในให้เป็นสัญลักษณ์เดียว และมองส่วนของอนุพันธ์เป็นดิฟเฟอเรนเชียลที่สอดคล้องกัน

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีนี้ไม่ใช่แค่การเดารูปแบบแบบสุ่ม แต่เป็นการย้อนกฎลูกโซ่อย่างมีโครงสร้าง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแทนค่า U

1. เลือก $u$ โดยไม่ตรวจว่าอนุพันธ์ของมันปรากฏอยู่ด้วยหรือไม่ ถ้าส่วนของอนุพันธ์ที่ตรงกันไม่มีอยู่ การแทนค่าอาจไม่ทำให้อะไรง่ายขึ้น
2. ลืมปรับค่าคงที่ตัวคูณ ในตัวอย่างข้างบน ถ้าใช้ $du = 2x\,dx$ แต่ลืม $\frac{1}{2}$ คำตอบจะผิด
3. ปะปนตัวแปรหลังจากแทนค่าแล้ว เมื่อเขียนใหม่ในรูปของ $u$ แล้ว อินทิกรัลควรอยู่ในตัวแปร $u$ ทั้งหมดจนกว่าจะถึงขั้นแทนกลับ
4. ลืม $+C$ ในอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
5. คงตัวแปรเป็น $u$ ในอินทิกรัลจำกัดเขต แต่ยังใช้ขอบเขตเดิมของ $x$ ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร $u$ ขอบเขตก็ต้องเปลี่ยนเป็นค่าในรูป $u$ ด้วย

การแทนค่า U กับอินทิกรัลจำกัดเขต

สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คุณจัดการขั้นตอนสุดท้ายได้อย่างถูกต้องอยู่สองแบบ

แบบแรกคือแทนกลับเป็น $x$ แล้วใช้ขอบเขตเดิม อีกแบบคือคงคำตอบไว้ในรูป $u$ และเปลี่ยนขอบเขตทันที

ตัวอย่างเช่น ถ้า

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$$

และคุณกำหนดให้ $u=x^2$ ขอบเขตใหม่จะเป็น $u=0$ และ $u=1$ ดังนั้น

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1$$

เงื่อนไขสำคัญคือความสอดคล้อง: อย่าปะปน $u$ กับขอบเขตของ $x$

การแทนค่า U ถูกใช้ที่ไหน

การแทนค่า u เป็นหนึ่งในเทคนิคการอินทิเกรตสำคัญชุดแรกในแคลคูลัส เพราะปริพันธ์ไม่จำกัดเขตจำนวนมากยังไม่ตรงกับสูตรโดยตรง จนกว่าจะเขียนใหม่เสียก่อน

วิธีนี้ปรากฏในวิชาแคลคูลัสพื้นฐาน สมการเชิงอนุพันธ์ ความน่าจะเป็น ฟิสิกส์ และวิศวกรรม เมื่อปริมาณหนึ่งถูกสร้างขึ้นตามธรรมชาติจากนิพจน์ด้านในและอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน

ลองทำโจทย์การแทนค่า U ที่คล้ายกัน

ลองทำ

$$\int (3x^2)\,e^{x^3}\,dx$$

ก่อนจะไปเปิดดูเฉลย ถ้าคุณเลือก $u=x^3$ อินทิกรัลควรยุบลงอย่างรวดเร็ว หลังทำเสร็จ ให้ตรวจว่าคำตอบสุดท้ายของคุณแทนกลับเป็น $x$ แล้วหรือยัง และจัดการค่าคงที่ตัวคูณถูกต้องหรือไม่