การทำกำลังสองสมบูรณ์

การทำกำลังสองสมบูรณ์คือการเขียนนิพจน์กำลังสองใหม่ให้อยู่ในรูปอย่าง $(x - h)^2 + k$ วิธีนี้ทำให้อ่านกราฟได้ง่ายขึ้น และเป็นวิธีที่เชื่อถือได้ในการแก้สมการกำลังสองเมื่อการแยกตัวประกอบไม่สะดวก

ถ้าส่วนกำลังสองเริ่มต้นเป็น $x^2 + bx$ เอกลักษณ์สำคัญคือ

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

คุณต้องบวกพจน์ที่พอดีเพื่อให้ได้รูปกำลังสอง แล้วลบพจน์เดียวกันออกเพื่อให้ค่ายังคงเดิม

การทำกำลังสองสมบูรณ์หมายถึงอะไร

พหุนามสามพจน์กำลังสองสมบูรณ์เกิดจากการยกกำลังสองของทวินาม:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

หรือ

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

การทำกำลังสองสมบูรณ์หมายถึงการเขียนบางส่วนของนิพจน์กำลังสองใหม่ให้ตรงกับรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งนี้พอดี

กฎลัดคือ ใน $x^2 + bx$ ให้นำครึ่งหนึ่งของ $b$ แล้วยกกำลังสอง

จะได้ค่าคงที่ที่ต้องใช้คือ

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

ทำไมต้องหารสองก่อนแล้วค่อยยกกำลังสอง

เริ่มจาก

$$x^2 + bx$$

บวก $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ เข้าไป:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

ตอนนี้พหุนามสามพจน์สามารถแยกได้เป็น

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

ดังนั้นนิพจน์เดิมจึงเขียนใหม่ได้เป็น

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

คุณไม่ได้เปลี่ยนค่าเดิมของนิพจน์ เพียงแค่เปลี่ยนรูปแบบของมันเท่านั้น

ตัวอย่างทำจริง: เขียนใหม่และแก้สมการ $x^2 + 6x + 5 = 0$

เริ่มจาก

$$x^2 + 6x + 5$$

พิจารณาเฉพาะ $x^2 + 6x$ ครึ่งหนึ่งของ $6$ คือ $3$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $9$ คือพจน์ที่ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

บวกและลบ $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

จัดกลุ่มส่วนที่เป็นกำลังสองและจัดรูป:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

ตอนนี้โครงสร้างชัดเจนขึ้น จุดยอดคือ $(-3, -4)$ ดังนั้นกราฟจะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $x = -3$

ถ้าต้องการแก้สมการ $x^2 + 6x + 5 = 0$ ให้ตั้งรูปที่เขียนใหม่แล้วเท่ากับศูนย์:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

ย้าย $4$ ไปอีกข้าง:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

ถอดรากที่สอง:

$$x + 3 = \pm 2$$

จากนั้นแก้หา $x$:

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

การเขียนใหม่เพียงครั้งเดียวทำให้ได้ทั้งจุดยอดและคำตอบของสมการ นี่คือเหตุผลสำคัญที่วิธีนี้มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ

เมื่อสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ไม่เท่ากับ $1$

ถ้านิพจน์กำลังสองเริ่มต้นเป็น $ax^2 + bx + c$ โดยที่ $a \ne 1$ ให้ดึง $a$ ออกจากพจน์ $x^2$ และ $x$ ก่อน กฎลัดหารสองแล้วค่อยยกกำลังสองจะใช้ได้โดยตรงก็ต่อเมื่อส่วนกำลังสองมีสัมประสิทธิ์นำเป็น $1$ แล้วเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น

$$2x^2 + 8x + 1$$

จะกลายเป็น

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

ภายในวงเล็บ ครึ่งหนึ่งของ $4$ คือ $2$ ดังนั้นต้องบวก $4$ เข้าไปในนั้น:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

ซึ่งจัดรูปได้เป็น

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

พจน์ที่ใช้ชดเชยคือ $-8$ ไม่ใช่ $-4$ เพราะ $4$ ที่บวกเข้าไปอยู่ในวงเล็บที่ถูกคูณด้วย $2$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. ยกกำลังสองก่อนหารสอง สำหรับ $x^2 + 10x$ พจน์ที่ต้องใช้คือ $25$ ไม่ใช่ $100$
2. ลืมชดเชยพจน์ที่เพิ่มเข้าไป ถ้าคุณบวกค่าเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ คุณต้องลบค่าเดิมออกด้วยในปริมาณรวมที่เท่ากัน
3. ข้ามขั้นตอนการดึงสัมประสิทธิ์นำออก ถ้านิพจน์เริ่มด้วย $2x^2$ หรือ $3x^2$ ให้ดึงสัมประสิทธิ์นั้นออกจากส่วนกำลังสองก่อน
4. ทำเครื่องหมายผิด $(x - 4)^2$ กระจายได้เป็น $x^2 - 8x + 16$ ไม่ใช่ $x^2 + 8x + 16$

นักเรียนใช้การทำกำลังสองสมบูรณ์เมื่อไร

โดยทั่วไปคุณจะพบวิธีนี้เมื่อจำเป็นต้อง:

1. แก้สมการกำลังสองที่แยกตัวประกอบได้ไม่สวย
2. เขียนนิพจน์กำลังสองใหม่ให้อยู่ในรูปจุดยอด
3. หาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสอง
4. เข้าใจว่าสูตรกำลังสองมาจากไหน

ตรวจคำตอบแบบเร็ว

หลังจากทำกำลังสองสมบูรณ์แล้ว ให้กระจายคำตอบของคุณออกมาและตรวจว่ากลับไปได้นิพจน์เดิมตรงทุกพจน์

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณอ้างว่า

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

เมื่อกระจายจะได้ $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$ ซึ่งยืนยันว่าการเขียนใหม่นั้นถูกต้อง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำ $x^2 - 8x + 1$ ครึ่งหนึ่งของ $-8$ คือ $-4$ ดังนั้นส่วนที่เป็นกำลังสองควรอยู่ในรูป $(x - 4)^2$

ถ้าคุณอยากเปรียบเทียบวิธีที่มีประโยชน์ต่อไป ให้แก้สมการกำลังสองเดียวกันด้วย สูตรกำลังสอง แล้วตรวจว่าทั้งสองวิธีให้รากเหมือนกัน