Hoàn thành bình phương

Hoàn thành bình phương là cách viết lại một biểu thức bậc hai về dạng như $(x - h)^2 + k$. Cách này giúp đọc đồ thị dễ hơn, đồng thời cho bạn một phương pháp đáng tin cậy để giải phương trình bậc hai khi việc phân tích nhân tử không thuận tiện.

Nếu phần bậc hai bắt đầu với $x^2 + bx$, đẳng thức quan trọng là:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Bạn thêm đúng hạng tử cần thiết để tạo thành một bình phương, rồi trừ đi chính hạng tử đó để giá trị không đổi.

Hoàn thành bình phương có nghĩa là gì

Một tam thức chính phương xuất hiện khi bình phương một nhị thức:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

hoặc

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Hoàn thành bình phương nghĩa là viết lại một phần của biểu thức bậc hai sao cho nó khớp chính xác với một trong các mẫu đó.

Quy tắc nhanh là: trong $x^2 + bx$, lấy một nửa của $b$, rồi bình phương nó.

Khi đó ta được hằng số cần thêm:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Vì sao lấy nửa rồi bình phương lại đúng

Bắt đầu với

$$x^2 + bx$$

Thêm $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Lúc này tam thức có thể phân tích thành

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Vì vậy biểu thức ban đầu có thể viết lại thành

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Bạn không làm thay đổi giá trị của biểu thức. Bạn chỉ đang thay đổi dạng của nó.

Ví dụ có lời giải: Viết lại và giải $x^2 + 6x + 5 = 0$

Bắt đầu với

$$x^2 + 6x + 5$$

Tập trung vào $x^2 + 6x$. Một nửa của $6$ là $3$, và $3^2 = 9$, nên $9$ là hạng tử giúp hoàn thành bình phương.

Thêm và bớt $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Nhóm phần bình phương và rút gọn:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Bây giờ cấu trúc đã rõ hơn. Đỉnh là $(-3, -4)$, nên đồ thị đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = -3$.

Để giải phương trình $x^2 + 6x + 5 = 0$, đặt dạng đã viết lại bằng $0$:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Chuyển $4$ sang vế kia:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Lấy căn bậc hai:

$$x + 3 = \pm 2$$

Sau đó giải ra $x$:

$$x = -1 \text{ hoặc } x = -5$$

Chỉ với một lần viết lại, ta tìm được cả đỉnh lẫn nghiệm. Đó là lý do thực tế quan trọng khiến phương pháp này hữu ích.

Khi hệ số của $x^2$ không phải là $1$

Nếu biểu thức bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a \ne 1$, hãy đặt $a$ ra ngoài ở các hạng tử chứa $x^2$ và $x$ trước. Mẹo lấy nửa rồi bình phương chỉ áp dụng trực tiếp sau khi phần bậc hai có hệ số đầu là $1$.

Ví dụ,

$$2x^2 + 8x + 1$$

trở thành

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

Trong ngoặc, một nửa của $4$ là $2$, nên bạn thêm $4$ vào đó:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Biểu thức này rút gọn thành

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Hạng tử cân bằng là $-8$, không phải $-4$, vì số $4$ được thêm vào nằm trong ngoặc đang nhân với $2$.

Những lỗi thường gặp

1. Bình phương trước khi chia đôi. Với $x^2 + 10x$, hạng tử cần thêm là $25$, không phải $100$.
2. Quên cân bằng hạng tử thêm vào. Nếu bạn thêm một giá trị để tạo thành bình phương, bạn cũng phải trừ đi đúng tổng giá trị đó.
3. Bỏ qua bước xử lý hệ số đầu. Nếu biểu thức bắt đầu bằng $2x^2$ hoặc $3x^2$, hãy đặt hệ số đó ra ngoài trước ở phần bậc hai.
4. Nhầm dấu. $(x - 4)^2$ khai triển thành $x^2 - 8x + 16$, không phải $x^2 + 8x + 16$.

Khi nào học sinh dùng hoàn thành bình phương

Bạn thường gặp phương pháp này khi cần:

1. Giải một phương trình bậc hai khó phân tích nhân tử
2. Viết lại một biểu thức bậc hai về dạng đỉnh
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm bậc hai
4. Hiểu công thức nghiệm phương trình bậc hai được suy ra từ đâu

Kiểm tra nhanh

Sau khi hoàn thành bình phương, hãy khai triển kết quả và chắc chắn rằng bạn thu lại đúng biểu thức ban đầu.

Ví dụ, nếu bạn khẳng định

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

thì khai triển ra được $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Điều đó xác nhận phép viết lại là đúng.

Thử một bài tương tự

Hãy thử với $x^2 - 8x + 1$. Một nửa của $-8$ là $-4$, nên phần bình phương sẽ có dạng $(x - 4)^2$.

Nếu muốn so sánh hữu ích, hãy giải cùng phương trình bậc hai đó bằng công thức nghiệm và kiểm tra xem cả hai cách có cho cùng nghiệm hay không.