완전제곱식 만들기

완전제곱식 만들기는 이차식을 $(x - h)^2 + k$ 같은 형태로 바꾸는 방법입니다. 이렇게 바꾸면 그래프를 더 쉽게 읽을 수 있고, 인수분해가 편하지 않을 때도 이차방정식을 안정적으로 풀 수 있습니다.

이차항 부분이 $x^2 + bx$로 시작하면, 핵심 항등식은 다음과 같습니다.

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

제곱식이 되도록 정확히 필요한 항을 더한 다음, 값이 바뀌지 않도록 같은 항을 다시 빼 주는 것입니다.

완전제곱식 만들기란 무엇인가

완전제곱삼항식은 이항식을 제곱해서 만들어집니다.

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

또는

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

완전제곱식 만들기란 이차식의 일부를 이런 꼴과 정확히 일치하도록 다시 쓰는 것을 뜻합니다.

빠른 규칙은 이렇습니다. $x^2 + bx$에서 $b$를 반으로 나눈 뒤, 그것을 제곱합니다.

그러면 필요한 상수항은

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

가 됩니다.

왜 반으로 나눈 뒤 제곱할까

다음 식에서 시작합니다.

$$x^2 + bx$$

여기에 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$를 더하면

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

이 삼항식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

따라서 원래 식은 다음처럼 다시 쓸 수 있습니다.

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

식의 값을 바꾸는 것이 아닙니다. 형태만 바꾸는 것입니다.

예제: $x^2 + 6x + 5 = 0$을 다시 쓰고 풀기

다음 식에서 시작합니다.

$$x^2 + 6x + 5$$

$x^2 + 6x$에 집중해 봅시다. $6$의 절반은 $3$이고, $3^2 = 9$이므로 완전제곱식을 만드는 데 필요한 항은 $9$입니다.

$9$를 더하고 $9$를 뺍니다.

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

제곱식 부분을 묶고 정리하면

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

이제 구조가 더 분명해집니다. 꼭짓점은 $(-3, -4)$이므로 그래프는 $x = -3$일 때 최솟값을 가집니다.

방정식 $x^2 + 6x + 5 = 0$을 풀려면, 바꾼 식을 $0$과 같게 놓습니다.

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

$4$를 다른 쪽으로 넘기면

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

제곱근을 취하면

$$x + 3 = \pm 2$$

이제 $x$를 구하면

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

한 번의 변형으로 꼭짓점과 해를 모두 얻었습니다. 이것이 이 방법이 실용적인 가장 큰 이유입니다.

$x^2$의 계수가 $1$이 아닐 때

이차식이 $ax^2 + bx + c$ 꼴이고 $a \ne 1$이면, 먼저 $x^2$항과 $x$항에서 $a$를 묶어 내야 합니다. 반으로 나누고 제곱하는 빠른 규칙은 이차항 부분의 최고차항 계수가 $1$일 때만 바로 적용됩니다.

예를 들어,

$$2x^2 + 8x + 1$$

은

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

이 됩니다.

괄호 안에서는 $4$의 절반이 $2$이므로, 그 안에 $4$를 더합니다.

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

이를 정리하면

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

가 됩니다. 균형을 맞추기 위해 빼는 항은 $-4$가 아니라 $-8$입니다. 더한 $4$가 $2$가 곱해진 괄호 안에 있었기 때문입니다.

자주 하는 실수

1. 반으로 나누기 전에 먼저 제곱하는 것. $x^2 + 10x$에서는 필요한 항이 $100$이 아니라 $25$입니다.
2. 추가한 항의 균형을 맞추지 않는 것. 제곱식을 만들기 위해 어떤 값을 더했다면, 전체 값이 같도록 같은 양을 반드시 다시 빼야 합니다.
3. 최고차항 계수를 먼저 처리하지 않는 것. 이차식이 $2x^2$나 $3x^2$로 시작하면, 먼저 이차항 부분에서 그 계수를 묶어 내야 합니다.
4. 부호를 놓치는 것. $(x - 4)^2$를 전개하면 $x^2 - 8x + 16$이지, $x^2 + 8x + 16$이 아닙니다.

학생들이 완전제곱식 만들기를 사용하는 경우

보통 이 방법은 다음이 필요할 때 사용합니다.

1. 인수분해가 잘되지 않는 이차방정식을 풀 때
2. 이차식을 꼭짓점형으로 바꿀 때
3. 이차함수의 최댓값이나 최솟값을 구할 때
4. 근의 공식이 어디서 나오는지 이해할 때

빠른 확인

완전제곱식을 만든 뒤에는 답을 다시 전개해서 원래 식이 정확히 나오는지 확인해 보세요.

예를 들어, 다음과 같이 썼다면

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

전개하면 $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$가 됩니다. 이것으로 변형이 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$x^2 - 8x + 1$을 해 보세요. $-8$의 절반은 $-4$이므로, 제곱식 부분은 $(x - 4)^2$를 포함해야 합니다.

다음 비교로 유용한 방법은 같은 이차방정식을 근의 공식으로도 풀어 보고, 두 방법이 같은 근을 주는지 확인하는 것입니다.