Kareye Tamamlama

Kareye tamamlama, ikinci dereceden bir ifadeyi $(x - h)^2 + k$ gibi bir biçime dönüştürür. Bu, grafiği okumayı kolaylaştırır ve çarpanlara ayırmanın uygun olmadığı durumlarda ikinci dereceden denklemleri çözmek için güvenilir bir yöntem sunar.

Eğer ikinci dereceden kısım $x^2 + bx$ ile başlıyorsa, temel özdeşlik şudur:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Kare oluşturmak için gereken terimi tam olarak eklersiniz, sonra değerin değişmemesi için aynı terimi çıkarırsınız.

Kareye Tamamlama Ne Anlama Gelir?

Tam kare üçterimli, bir iki terimlinin karesinden gelir:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

veya

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Kareye tamamlama, ikinci dereceden bir ifadenin bir kısmını bu kalıplardan biriyle tam olarak eşleşecek şekilde yeniden yazmak demektir.

Hızlı kural şudur: $x^2 + bx$ ifadesinde, $b$'nin yarısını alın, sonra karesini bulun.

Bu da gereken sabit terimi verir:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Önce Yarıya Bölüp Sonra Karesini Almak Neden İşe Yarar?

Şununla başlayın:

$$x^2 + bx$$

$\left(\frac{b}{2}\right)^2$ ekleyin:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Artık bu üçterimli şu şekilde çarpanlara ayrılır:

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Dolayısıyla başlangıçtaki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Miktarı değiştirmiyorsunuz. Yalnızca biçimini değiştiriyorsunuz.

Çözümlü Örnek: $x^2 + 6x + 5 = 0$ İfadesini Yeniden Yazın ve Çözün

Şununla başlayın:

$$x^2 + 6x + 5$$

$x^2 + 6x$ kısmına odaklanın. $6$'nın yarısı $3$'tür ve $3^2 = 9$ olduğundan, kareyi tamamlayan terim $9$'dur.

$9$ ekleyip $9$ çıkarın:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Kareyi gruplayın ve sadeleştirin:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Artık yapı daha nettir. Tepe noktası $(-3, -4)$ olduğundan, grafik minimum değerine $x = -3$ iken ulaşır.

$x^2 + 6x + 5 = 0$ denklemini çözmek için, yeniden yazılmış biçimi sıfıra eşitleyin:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

$4$'ü karşı tarafa geçirin:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Karekök alın:

$$x + 3 = \pm 2$$

Sonra $x$ için çözün:

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

Tek bir yeniden yazım hem tepe noktasını hem de çözümleri verdi. Bu, yöntemin neden pratikte yararlı olduğunun temel nedenidir.

$x^2$'in Katsayısı $1$ Değilse

Eğer ikinci dereceden ifade $ax^2 + bx + c$ biçimindeyse ve $a \ne 1$ ise, önce $x^2$ ve $x$ terimlerinden $a$ ortak çarpanını dışarı alın. Yarıya bölüp karesini alma kısayolu, yalnızca ikinci dereceden kısmın baş katsayısı $1$ olduktan sonra doğrudan uygulanır.

Örneğin,

$$2x^2 + 8x + 1$$

şuna dönüşür:

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

Parantez içinde $4$'ün yarısı $2$ olduğundan, oraya $4$ eklersiniz:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Bu da şu şekilde sadeleşir:

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Dengeleme terimi $-4$ değil, $-8$'dir; çünkü eklenen $4$, $2$ ile çarpılan parantezin içindeydi.

Yaygın Hatalar

1. Yarıya bölmeden önce karesini almak. $x^2 + 10x$ için gereken terim $100$ değil, $25$'tir.
2. Eklenen terimi dengelemeyi unutmak. Kare oluşturmak için bir değer ekliyorsanız, toplam değeri korumak için aynı toplam değeri de çıkarmalısınız.
3. Baş katsayı adımını atlamak. İfade $2x^2$ veya $3x^2$ ile başlıyorsa, önce ikinci dereceden kısımdan bu katsayıyı ortak çarpan olarak dışarı alın.
4. İşareti karıştırmak. $(x - 4)^2$ açıldığında $x^2 - 8x + 16$ olur, $x^2 + 8x + 16$ olmaz.

Öğrenciler Kareye Tamamlamayı Ne Zaman Kullanır?

Bu yöntemi genellikle şu durumlarda görürsünüz:

1. Kolayca çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir denklemi çözmek
2. İkinci dereceden bir ifadeyi tepe noktası biçimine dönüştürmek
3. İkinci dereceden bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak
4. İkinci dereceden denklem formülünün nereden geldiğini anlamak

Hızlı Bir Kontrol

Kareye tamamladıktan sonra, cevabınızı açın ve başlangıçtaki ifadeyi tam olarak geri elde ettiğinizden emin olun.

Örneğin, eğer

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

diyorsanız, açılım $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$ verir. Bu da yeniden yazımın doğru olduğunu doğrular.

Benzer Bir Soru Deneyin

$x^2 - 8x + 1$ ifadesini deneyin. $-8$'in yarısı $-4$ olduğundan, kare kısmı $(x - 4)^2$ içermelidir.

Yararlı bir sonraki karşılaştırma için, aynı ikinci dereceden denklemi ikinci dereceden denklem formülü ile çözün ve iki yöntemin de aynı köklere ulaştığını kontrol edin.