Συμπλήρωση τετραγώνου

Η συμπλήρωση τετραγώνου ξαναγράφει ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού σε μορφή όπως $(x - h)^2 + k$. Αυτό κάνει τη γραφική παράσταση πιο εύκολη στην ανάγνωση και δίνει έναν αξιόπιστο τρόπο να λύνεις εξισώσεις δευτέρου βαθμού όταν η παραγοντοποίηση δεν είναι βολική.

Αν το τετραγωνικό μέρος ξεκινά ως $x^2 + bx$, η βασική ταυτότητα είναι:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Προσθέτεις ακριβώς τον όρο που χρειάζεται για να σχηματιστεί τετράγωνο και μετά αφαιρείς τον ίδιο όρο ώστε η τιμή να μείνει αμετάβλητη.

Τι σημαίνει συμπλήρωση τετραγώνου

Ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο προκύπτει από το τετράγωνο ενός διωνύμου:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

ή

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Συμπλήρωση τετραγώνου σημαίνει ότι ξαναγράφεις μέρος ενός τριωνύμου δευτέρου βαθμού ώστε να ταιριάζει ακριβώς με ένα από αυτά τα πρότυπα.

Ο γρήγορος κανόνας είναι: στο $x^2 + bx$, παίρνεις το μισό του $b$ και μετά το υψώνεις στο τετράγωνο.

Αυτό δίνει τη σταθερά που χρειάζεται:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Γιατί λειτουργεί το «μισό και μετά τετράγωνο»

Ξεκίνα με

$$x^2 + bx$$

Πρόσθεσε $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Τώρα το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Άρα η αρχική παράσταση μπορεί να ξαναγραφτεί ως

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Δεν αλλάζεις την ποσότητα. Αλλάζεις μόνο τη μορφή.

Λυμένο παράδειγμα: Ξαναγραφή και λύση της $x^2 + 6x + 5 = 0$

Ξεκίνα με

$$x^2 + 6x + 5$$

Εστίασε στο $x^2 + 6x$. Το μισό του $6$ είναι $3$, και $3^2 = 9$, άρα το $9$ είναι ο όρος που συμπληρώνει το τετράγωνο.

Πρόσθεσε και αφαίρεσε το $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Ομαδοποίησε το τετράγωνο και απλοποίησε:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Τώρα η δομή είναι πιο καθαρή. Η κορυφή είναι $(-3, -4)$, άρα η γραφική παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν $x = -3$.

Για να λύσεις την εξίσωση $x^2 + 6x + 5 = 0$, θέσε τη νέα μορφή ίση με το μηδέν:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Μετάφερε το $4$ στο άλλο μέλος:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Πάρε τετραγωνικές ρίζες:

$$x + 3 = \pm 2$$

Έπειτα λύσε ως προς $x$:

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

Μία μόνο μετατροπή έδωσε και την κορυφή και τις λύσεις. Αυτός είναι ο βασικός πρακτικός λόγος που η μέθοδος είναι χρήσιμη.

Όταν ο συντελεστής του $x^2$ δεν είναι $1$

Αν το τριώνυμο ξεκινά ως $ax^2 + bx + c$ με $a \ne 1$, βγάλε πρώτα τον $a$ κοινό παράγοντα από τους όρους με $x^2$ και $x$. Ο κανόνας «μισό και μετά τετράγωνο» εφαρμόζεται άμεσα μόνο αφού το τετραγωνικό μέρος έχει πρώτο συντελεστή $1$.

Για παράδειγμα,

$$2x^2 + 8x + 1$$

γίνεται

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

Μέσα στην παρένθεση, το μισό του $4$ είναι $2$, άρα προσθέτεις εκεί το $4$:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Αυτό απλοποιείται σε

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Ο όρος εξισορρόπησης είναι $-8$, όχι $-4$, επειδή το πρόσθετο $4$ ήταν μέσα σε παρένθεση που πολλαπλασιάζεται με $2$.

Συνηθισμένα λάθη

1. Υψώνεις στο τετράγωνο πριν πάρεις το μισό. Για το $x^2 + 10x$, ο σωστός όρος είναι $25$, όχι $100$.
2. Ξεχνάς να εξισορροπήσεις τον επιπλέον όρο. Αν προσθέσεις μια τιμή για να σχηματίσεις τετράγωνο, πρέπει να αφαιρέσεις και την ίδια συνολική τιμή.
3. Παραλείπεις το βήμα του πρώτου συντελεστή. Αν το τριώνυμο ξεκινά με $2x^2$ ή $3x^2$, βγάλε πρώτα αυτόν τον συντελεστή κοινό παράγοντα από το τετραγωνικό μέρος.
4. Χάνεις το πρόσημο. Το $(x - 4)^2$ αναπτύσσεται σε $x^2 - 8x + 16$, όχι σε $x^2 + 8x + 16$.

Πότε χρησιμοποιούν οι μαθητές τη συμπλήρωση τετραγώνου

Συνήθως θα δεις αυτή τη μέθοδο όταν χρειάζεται να:

1. Λύσεις μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που δεν παραγοντοποιείται εύκολα
2. Ξαναγράψεις ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού σε μορφή κορυφής
3. Βρεις τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης
4. Καταλάβεις από πού προκύπτει ο τύπος της διακρίνουσας

Ένας γρήγορος έλεγχος

Αφού κάνεις τη συμπλήρωση τετραγώνου, ανάπτυξε το αποτέλεσμα και βεβαιώσου ότι παίρνεις ακριβώς την αρχική παράσταση.

Για παράδειγμα, αν ισχυρίζεσαι ότι

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

τότε η ανάπτυξη δίνει $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Αυτό επιβεβαιώνει τη μετατροπή.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε το $x^2 - 8x + 1$. Το μισό του $-8$ είναι $-4$, άρα το τετράγωνο πρέπει να περιλαμβάνει το $(x - 4)^2$.

Αν θέλεις μια χρήσιμη σύγκριση στη συνέχεια, λύσε το ίδιο τριώνυμο και με τον τύπο της διακρίνουσας και έλεγξε ότι και οι δύο μέθοδοι οδηγούν στις ίδιες ρίζες.