Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung schreibt einen quadratischen Ausdruck in eine Form wie $(x - h)^2 + k$ um. Dadurch lässt sich der Graph leichter lesen, und du bekommst eine zuverlässige Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen, wenn Faktorisieren unpraktisch ist.

Wenn der quadratische Teil mit $x^2 + bx$ beginnt, ist die zentrale Identität:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Du addierst genau den Term, der für ein Quadrat fehlt, und subtrahierst dann denselben Term wieder, damit der Wert unverändert bleibt.

Was quadratische Ergänzung bedeutet

Ein vollständiges Quadrat entsteht durch das Quadrieren eines Binoms:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

oder

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Quadratische Ergänzung bedeutet, einen Teil eines quadratischen Ausdrucks so umzuschreiben, dass er genau zu einem dieser Muster passt.

Die schnelle Regel lautet: Bei $x^2 + bx$ halbiere $b$ und quadriere dann.

Das ergibt die benötigte Konstante:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Warum Halbieren und dann Quadrieren funktioniert

Beginne mit

$$x^2 + bx$$

Addiere $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Dann lässt sich das Trinom faktorisieren zu

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Also kann der ursprüngliche Ausdruck umgeschrieben werden als

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Du änderst nicht den Wert des Ausdrucks. Du änderst nur seine Form.

Durchgerechnetes Beispiel: $x^2 + 6x + 5 = 0$ umschreiben und lösen

Beginne mit

$$x^2 + 6x + 5$$

Betrachte $x^2 + 6x$. Die Hälfte von $6$ ist $3$, und $3^2 = 9$, also ist $9$ der Term, der das Quadrat ergänzt.

Addiere und subtrahiere $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Fasse das Quadrat zusammen und vereinfache:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Jetzt ist die Struktur klarer. Der Scheitelpunkt ist $(-3, -4)$, also erreicht der Graph sein Minimum bei $x = -3$.

Um die Gleichung $x^2 + 6x + 5 = 0$ zu lösen, setze die umgeschriebene Form gleich null:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Bringe $4$ auf die andere Seite:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Ziehe die Wurzel:

$$x + 3 = \pm 2$$

Löse dann nach $x$ auf:

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

Eine einzige Umformung liefert sowohl den Scheitelpunkt als auch die Lösungen. Das ist der wichtigste praktische Grund, warum diese Methode nützlich ist.

Wenn der Koeffizient von $x^2$ nicht $1$ ist

Wenn der quadratische Ausdruck die Form $ax^2 + bx + c$ mit $a \ne 1$ hat, klammere $a$ zuerst bei den $x^2$- und $x$-Termen aus. Die Abkürzung Halbieren-und-Quadrieren gilt direkt erst dann, wenn der quadratische Teil den Leitkoeffizienten $1$ hat.

Zum Beispiel wird

$$2x^2 + 8x + 1$$

zu

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

In der Klammer ist die Hälfte von $4$ gleich $2$, also addierst du dort $4$:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Das vereinfacht sich zu

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Der Ausgleichsterm ist $-8$ und nicht $-4$, weil die hinzugefügte $4$ in einer Klammer steht, die mit $2$ multipliziert wird.

Häufige Fehler

1. Erst quadrieren und dann halbieren. Bei $x^2 + 10x$ ist der benötigte Term $25$ und nicht $100$.
2. Vergessen, den zusätzlichen Term auszugleichen. Wenn du einen Wert addierst, um ein Quadrat zu erhalten, musst du denselben Gesamtwert auch wieder subtrahieren.
3. Den Schritt mit dem Leitkoeffizienten überspringen. Wenn der quadratische Ausdruck mit $2x^2$ oder $3x^2$ beginnt, klammere diesen Koeffizienten zuerst beim quadratischen Teil aus.
4. Das Vorzeichen verlieren. $(x - 4)^2$ ergibt ausmultipliziert $x^2 - 8x + 16$ und nicht $x^2 + 8x + 16$.

Wann Schüler die quadratische Ergänzung verwenden

Diese Methode begegnet dir meistens, wenn du:

1. eine quadratische Gleichung lösen musst, die sich nicht gut faktorisieren lässt
2. einen quadratischen Ausdruck in die Scheitelpunktform umschreiben willst
3. den Maximal- oder Minimalwert einer quadratischen Funktion finden willst
4. verstehen willst, woher die Mitternachtsformel kommt

Eine schnelle Kontrolle

Nachdem du die quadratische Ergänzung durchgeführt hast, multipliziere dein Ergebnis aus und prüfe, ob du genau den ursprünglichen Ausdruck zurückbekommst.

Wenn du zum Beispiel behauptest,

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

dann ergibt das Ausmultiplizieren $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Das bestätigt die Umformung.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche $x^2 - 8x + 1$. Die Hälfte von $-8$ ist $-4$, also sollte der quadratische Teil $(x - 4)^2$ enthalten.

Wenn du einen nützlichen Vergleich als Nächstes willst, löse dieselbe quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel und prüfe, dass beide Methoden zu denselben Nullstellen führen.