Uzupełnianie do kwadratu

Uzupełnianie do kwadratu przekształca trójmian kwadratowy do postaci takiej jak $(x - h)^2 + k$. Dzięki temu łatwiej odczytać wykres i otrzymujesz pewny sposób rozwiązywania równań kwadratowych, gdy rozkład na czynniki nie jest wygodny.

Jeśli część kwadratowa ma postać $x^2 + bx$, kluczowa tożsamość jest następująca:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Dodajesz dokładnie taki wyraz, jaki jest potrzebny do utworzenia kwadratu, a potem odejmujesz ten sam wyraz, żeby wartość się nie zmieniła.

Co oznacza uzupełnianie do kwadratu

Trójmian będący pełnym kwadratem powstaje przez podniesienie dwumianu do kwadratu:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

lub

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Uzupełnianie do kwadratu oznacza przepisanie części trójmianu kwadratowego tak, aby dokładnie pasowała do jednego z tych wzorów.

Szybka zasada jest taka: w wyrażeniu $x^2 + bx$ weź połowę $b$, a potem podnieś ją do kwadratu.

To daje potrzebną stałą:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Dlaczego działa zasada „połowa, potem kwadrat”

Zacznij od

$$x^2 + bx$$

Dodaj $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Teraz ten trójmian można zapisać w postaci

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Zatem pierwotne wyrażenie można przepisać jako

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Nie zmieniasz wartości wyrażenia. Zmieniasz tylko jego postać.

Przykład: przekształć i rozwiąż $x^2 + 6x + 5 = 0$

Zacznij od

$$x^2 + 6x + 5$$

Skup się na $x^2 + 6x$. Połowa z $6$ to $3$, a $3^2 = 9$, więc $9$ jest wyrazem, który uzupełnia do kwadratu.

Dodaj i odejmij $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Zgrupuj kwadrat i uprość:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Teraz struktura jest wyraźniejsza. Wierzchołek ma współrzędne $(-3, -4)$, więc wykres osiąga minimum dla $x = -3$.

Aby rozwiązać równanie $x^2 + 6x + 5 = 0$, przyrównaj przekształconą postać do zera:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Przenieś $4$ na drugą stronę:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Wyciągnij pierwiastek:

$$x + 3 = \pm 2$$

Następnie rozwiąż równanie względem $x$:

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

Jedno przekształcenie dało zarówno wierzchołek, jak i rozwiązania. To główny praktyczny powód, dla którego ta metoda jest użyteczna.

Gdy współczynnik przy $x^2$ nie jest równy $1$

Jeśli trójmian ma postać $ax^2 + bx + c$ przy $a \ne 1$, najpierw wyłącz $a$ przed nawias z wyrazów zawierających $x^2$ i $x$. Skrót „połowa, potem kwadrat” działa bezpośrednio dopiero wtedy, gdy część kwadratowa ma współczynnik wiodący równy $1$.

Na przykład

$$2x^2 + 8x + 1$$

przekształca się do postaci

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

W nawiasie połowa z $4$ to $2$, więc dodajesz tam $4$:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

To upraszcza się do

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Wyraz równoważący to $-8$, a nie $-4$, ponieważ dodane $4$ było w nawiasie mnożonym przez $2$.

Typowe błędy

1. Podnoszenie do kwadratu przed podzieleniem przez dwa. Dla $x^2 + 10x$ potrzebny wyraz to $25$, a nie $100$.
2. Zapominanie o zrównoważeniu dodatkowego wyrazu. Jeśli dodajesz wartość, aby utworzyć kwadrat, musisz też odjąć tę samą łączną wartość.
3. Pomijanie kroku z wyłączeniem współczynnika. Jeśli trójmian zaczyna się od $2x^2$ lub $3x^2$, najpierw wyłącz ten współczynnik przed nawias z części kwadratowej.
4. Gubienie znaku. $(x - 4)^2$ rozwija się do $x^2 - 8x + 16$, a nie do $x^2 + 8x + 16$.

Kiedy uczniowie stosują uzupełnianie do kwadratu

Zwykle spotkasz tę metodę, gdy trzeba:

1. Rozwiązać równanie kwadratowe, którego nie da się łatwo rozłożyć na czynniki
2. Przekształcić trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej
3. Znaleźć wartość największą lub najmniejszą funkcji kwadratowej
4. Zrozumieć, skąd bierze się wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Szybkie sprawdzenie

Po uzupełnieniu do kwadratu rozwiń otrzymaną postać i sprawdź, czy dokładnie odzyskujesz pierwotne wyrażenie.

Na przykład, jeśli twierdzisz, że

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

to po rozwinięciu dostajesz $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. To potwierdza poprawność przekształcenia.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj z wyrażeniem $x^2 - 8x + 1$. Połowa z $-8$ to $-4$, więc część kwadratowa powinna zawierać $(x - 4)^2$.

Jeśli chcesz porównać tę metodę z inną, rozwiąż to samo równanie kwadratowe za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i sprawdź, czy obie metody prowadzą do tych samych pierwiastków.