Completando o quadrado

Completar o quadrado reescreve uma expressão quadrática em uma forma como $(x - h)^2 + k$. Isso facilita a leitura do gráfico e oferece um método confiável para resolver equações quadráticas quando fatorar não é conveniente.

Se a parte quadrática começa com $x^2 + bx$, a identidade principal é:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Você adiciona exatamente o termo necessário para formar um quadrado e depois subtrai esse mesmo termo para que o valor permaneça inalterado.

O que significa completar o quadrado

Um trinômio quadrado perfeito surge ao elevar um binômio ao quadrado:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

ou

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Completar o quadrado significa reescrever parte de uma expressão quadrática para que ela corresponda exatamente a um desses padrões.

A regra rápida é: em $x^2 + bx$, pegue a metade de $b$ e depois eleve ao quadrado.

Isso fornece a constante necessária:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Por que metade e depois quadrado funciona

Comece com

$$x^2 + bx$$

Adicione $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Agora o trinômio pode ser fatorado como

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Então a expressão original pode ser reescrita como

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Você não está mudando a quantidade. Está apenas mudando a forma.

Exemplo resolvido: reescreva e resolva $x^2 + 6x + 5 = 0$

Comece com

$$x^2 + 6x + 5$$

Concentre-se em $x^2 + 6x$. A metade de $6$ é $3$, e $3^2 = 9$, então $9$ é o termo que completa o quadrado.

Some e subtraia $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Agrupe o quadrado e simplifique:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Agora a estrutura fica mais clara. O vértice é $(-3, -4)$, então o gráfico atinge seu valor mínimo quando $x = -3$.

Para resolver a equação $x^2 + 6x + 5 = 0$, iguale a forma reescrita a zero:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Passe o $4$ para o outro lado:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Extraia a raiz quadrada:

$$x + 3 = \pm 2$$

Depois resolva para $x$:

$$x = -1 \text{ ou } x = -5$$

Uma única reescrita forneceu tanto o vértice quanto as soluções. Esse é o principal motivo prático pelo qual esse método é útil.

Quando o coeficiente de $x^2$ não é $1$

Se a quadrática começa como $ax^2 + bx + c$ com $a \ne 1$, coloque $a$ em evidência nos termos com $x^2$ e $x$ primeiro. O atalho de metade e depois quadrado só se aplica diretamente depois que a parte quadrática passa a ter coeficiente líder $1$.

Por exemplo,

$$2x^2 + 8x + 1$$

fica

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

Dentro dos parênteses, a metade de $4$ é $2$, então você adiciona $4$ ali:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Isso simplifica para

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

O termo de compensação é $-8$, e não $-4$, porque o $4$ adicionado estava dentro dos parênteses multiplicados por $2$.

Erros comuns

1. Elevar ao quadrado antes de dividir por dois. Para $x^2 + 10x$, o termo necessário é $25$, não $100$.
2. Esquecer de compensar o termo extra. Se você adiciona um valor para formar um quadrado, também precisa subtrair o mesmo valor total.
3. Pular a etapa do coeficiente líder. Se a quadrática começa com $2x^2$ ou $3x^2$, coloque esse coeficiente em evidência primeiro na parte quadrática.
4. Perder o sinal. $(x - 4)^2$ se desenvolve em $x^2 - 8x + 16$, e não em $x^2 + 8x + 16$.

Quando os estudantes usam completar o quadrado

Você normalmente verá esse método quando precisar:

1. Resolver uma quadrática que não fatora facilmente
2. Reescrever uma quadrática na forma de vértice
3. Encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática
4. Entender de onde vem a fórmula quadrática

Uma verificação rápida

Depois de completar o quadrado, desenvolva sua resposta e confira se recupera exatamente a expressão original.

Por exemplo, se você afirma que

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

então, ao desenvolver, obtemos $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Isso confirma a reescrita.

Tente um problema parecido

Tente $x^2 - 8x + 1$. A metade de $-8$ é $-4$, então a parte quadrada deve envolver $(x - 4)^2$.

Se quiser uma comparação útil em seguida, resolva a mesma quadrática com a fórmula quadrática e verifique que os dois métodos levam às mesmas raízes.