Completar el cuadrado

Completar el cuadrado reescribe una cuadrática en una forma como $(x - h)^2 + k$. Eso hace que la gráfica sea más fácil de leer y te da un método confiable para resolver ecuaciones cuadráticas cuando factorizar no es conveniente.

Si la parte cuadrática empieza con $x^2 + bx$, la identidad clave es:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Se suma exactamente el término necesario para formar un cuadrado y luego se resta ese mismo término para que el valor no cambie.

Qué significa completar el cuadrado

Un trinomio cuadrado perfecto proviene de elevar al cuadrado un binomio:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

o

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Completar el cuadrado significa reescribir parte de una cuadrática para que coincida exactamente con uno de esos patrones.

La regla rápida es: en $x^2 + bx$, toma la mitad de $b$ y luego elévala al cuadrado.

Eso da la constante necesaria:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Por qué funciona tomar la mitad y luego elevar al cuadrado

Empieza con

$$x^2 + bx$$

Suma $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Ahora el trinomio se factoriza como

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Así que la expresión original puede reescribirse como

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

No estás cambiando la cantidad. Solo estás cambiando la forma.

Ejemplo resuelto: reescribir y resolver $x^2 + 6x + 5 = 0$

Empieza con

$$x^2 + 6x + 5$$

Concéntrate en $x^2 + 6x$. La mitad de $6$ es $3$, y $3^2 = 9$, así que $9$ es el término que completa el cuadrado.

Suma y resta $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Agrupa el cuadrado y simplifica:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Ahora la estructura es más clara. El vértice es $(-3, -4)$, así que la gráfica alcanza su mínimo cuando $x = -3$.

Para resolver la ecuación $x^2 + 6x + 5 = 0$, iguala a cero la forma reescrita:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Pasa el $4$ al otro lado:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Saca raíces cuadradas:

$$x + 3 = \pm 2$$

Luego despeja $x$:

$$x = -1 \text{ o } x = -5$$

Una sola reescritura dio tanto el vértice como las soluciones. Esa es la principal razón práctica por la que este método es útil.

Cuando el coeficiente de $x^2$ no es $1$

Si la cuadrática empieza como $ax^2 + bx + c$ con $a \ne 1$, factoriza primero $a$ de los términos con $x^2$ y $x$. El atajo de tomar la mitad y luego elevar al cuadrado se aplica directamente solo después de que la parte cuadrática tenga coeficiente principal $1$.

Por ejemplo,

$$2x^2 + 8x + 1$$

se convierte en

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

Dentro del paréntesis, la mitad de $4$ es $2$, así que sumas $4$ ahí:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Eso se simplifica a

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

El término de compensación es $-8$, no $-4$, porque el $4$ añadido estaba dentro de un paréntesis multiplicado por $2$.

Errores comunes

1. Elevar al cuadrado antes de tomar la mitad. Para $x^2 + 10x$, el término necesario es $25$, no $100$.
2. Olvidar compensar el término extra. Si sumas un valor para formar un cuadrado, también debes restar ese mismo valor total.
3. Saltarse el paso del coeficiente principal. Si la cuadrática empieza con $2x^2$ o $3x^2$, primero factoriza ese coeficiente de la parte cuadrática.
4. Perder el signo. $(x - 4)^2$ se desarrolla como $x^2 - 8x + 16$, no como $x^2 + 8x + 16$.

Cuándo usan los estudiantes completar el cuadrado

Normalmente verás este método cuando necesites:

1. Resolver una cuadrática que no factoriza fácilmente
2. Reescribir una cuadrática en forma de vértice
3. Encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática
4. Entender de dónde sale la fórmula cuadrática

Una comprobación rápida

Después de completar el cuadrado, desarrolla tu respuesta y asegúrate de recuperar exactamente la expresión original.

Por ejemplo, si afirmas que

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

entonces al desarrollar obtienes $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Eso confirma la reescritura.

Prueba un problema similar

Prueba con $x^2 - 8x + 1$. La mitad de $-8$ es $-4$, así que la parte cuadrada debe incluir $(x - 4)^2$.

Si quieres una comparación útil, resuelve la misma cuadrática con la fórmula cuadrática y comprueba que ambos métodos llevan a las mismas raíces.