Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat menulis ulang bentuk kuadrat menjadi bentuk seperti $(x - h)^2 + k$. Ini membuat grafik lebih mudah dibaca, dan memberi cara yang andal untuk menyelesaikan persamaan kuadrat saat pemfaktoran tidak praktis.

Jika bagian kuadrat dimulai dengan $x^2 + bx$, identitas kuncinya adalah:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Anda menambahkan suku yang tepat agar menjadi kuadrat sempurna, lalu mengurangkan suku yang sama supaya nilainya tetap tidak berubah.

Apa Arti Melengkapkan Kuadrat

Trinomial kuadrat sempurna berasal dari menguadratkan sebuah binomial:

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

atau

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Melengkapkan kuadrat berarti menulis ulang sebagian dari bentuk kuadrat agar tepat cocok dengan salah satu pola tersebut.

Aturan cepatnya adalah: pada $x^2 + bx$, ambil setengah dari $b$, lalu kuadratkan.

Itu memberi konstanta yang dibutuhkan:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Mengapa Ambil Setengah Lalu Kuadrat Berhasil

Mulai dari

$$x^2 + bx$$

Tambahkan $\left(\frac{b}{2}\right)^2$:

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Sekarang trinomial itu dapat difaktorkan menjadi

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Jadi bentuk semula dapat ditulis ulang sebagai

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Anda tidak mengubah nilainya. Anda hanya mengubah bentuknya.

Contoh: Tulis Ulang dan Selesaikan $x^2 + 6x + 5 = 0$

Mulai dari

$$x^2 + 6x + 5$$

Fokus pada $x^2 + 6x$. Setengah dari $6$ adalah $3$, dan $3^2 = 9$, jadi $9$ adalah suku yang melengkapkan kuadrat.

Tambahkan dan kurangkan $9$:

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

Kelompokkan bagian kuadrat dan sederhanakan:

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

Sekarang strukturnya lebih jelas. Titik puncaknya adalah $(-3, -4)$, jadi grafik mencapai nilai minimumnya saat $x = -3$.

Untuk menyelesaikan persamaan $x^2 + 6x + 5 = 0$, samakan bentuk yang sudah ditulis ulang dengan nol:

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

Pindahkan $4$ ke ruas kanan:

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

Ambil akar kuadrat:

$$x + 3 = \pm 2$$

Lalu selesaikan untuk $x$:

$$x = -1 \text{ atau } x = -5$$

Satu penulisan ulang memberi titik puncak sekaligus solusi. Itulah alasan praktis utama metode ini berguna.

Saat Koefisien $x^2$ Bukan $1$

Jika bentuk kuadrat dimulai sebagai $ax^2 + bx + c$ dengan $a \ne 1$, keluarkan faktor $a$ dari suku $x^2$ dan $x$ terlebih dahulu. Cara cepat ambil setengah lalu kuadrat hanya berlaku langsung setelah bagian kuadrat memiliki koefisien utama $1$.

Sebagai contoh,

$$2x^2 + 8x + 1$$

menjadi

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

Di dalam tanda kurung, setengah dari $4$ adalah $2$, jadi tambahkan $4$ di sana:

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Itu menyederhana menjadi

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Suku penyeimbangnya adalah $-8$, bukan $-4$, karena $4$ yang ditambahkan berada di dalam tanda kurung yang dikalikan dengan $2$.

Kesalahan Umum

1. Menguadratkan sebelum membagi dua. Untuk $x^2 + 10x$, suku yang dibutuhkan adalah $25$, bukan $100$.
2. Lupa menyeimbangkan suku tambahan. Jika Anda menambahkan suatu nilai agar menjadi kuadrat sempurna, Anda juga harus mengurangkan nilai total yang sama.
3. Melewatkan langkah koefisien utama. Jika bentuk kuadrat dimulai dengan $2x^2$ atau $3x^2$, keluarkan koefisien itu terlebih dahulu dari bagian kuadrat.
4. Salah tanda. $(x - 4)^2$ berkembang menjadi $x^2 - 8x + 16$, bukan $x^2 + 8x + 16$.

Kapan Siswa Menggunakan Melengkapkan Kuadrat

Biasanya Anda akan melihat metode ini saat perlu:

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak mudah difaktorkan
2. Menulis ulang bentuk kuadrat ke bentuk puncak
3. Menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi kuadrat
4. Memahami asal rumus kuadrat

Pemeriksaan Cepat

Setelah Anda melengkapkan kuadrat, kembangkan kembali jawaban Anda dan pastikan hasilnya sama persis dengan bentuk semula.

Sebagai contoh, jika Anda menyatakan

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

maka jika dikembangkan menjadi $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Itu menegaskan bahwa penulisan ulangnya benar.

Coba Soal Serupa

Coba $x^2 - 8x + 1$. Setengah dari $-8$ adalah $-4$, jadi bagian kuadratnya harus melibatkan $(x - 4)^2$.

Jika Anda ingin perbandingan lanjutan yang berguna, selesaikan bentuk kuadrat yang sama dengan rumus kuadrat dan periksa bahwa kedua metode memberi akar yang sama.