配方法

配方法是把二次式改写成像 $(x - h)^2 + k$ 这样的形式。这样更容易看懂图像，也是在因式分解不方便时求解二次方程的一种可靠方法。

如果二次部分是 $x^2 + bx$，关键恒等式是：

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

你加上恰好能凑成平方的那一项，再减去同样的一项，这样式子的值保持不变。

配方法是什么意思

完全平方三项式来自于二项式的平方：

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

或者

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

配方法就是把二次式的一部分改写成恰好符合这类形式。

快速规则是：在 $x^2 + bx$ 中，先取 $b$ 的一半，再把它平方。

这样得到所需的常数项：

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

为什么要先取一半再平方

从

$$x^2 + bx$$

开始。

加上 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$：

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

现在这个三项式可以因式分解为

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

所以原式可以改写为

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

你并没有改变这个量，只是改变了它的形式。

例题：改写并求解 $x^2 + 6x + 5 = 0$

从

$$x^2 + 6x + 5$$

开始。

先看 $x^2 + 6x$。$6$ 的一半是 $3$，而 $3^2 = 9$，所以 $9$ 就是配方所需的项。

加上并减去 $9$：

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

把平方部分合并并化简：

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

现在结构更清楚了。顶点是 $(-3, -4)$，所以图像在 $x = -3$ 时取得最小值。

要求解方程 $x^2 + 6x + 5 = 0$，把改写后的形式设为零：

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

把 $4$ 移到等号右边：

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

两边开平方：

$$x + 3 = \pm 2$$

再解出 $x$：

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

一次改写同时得到了顶点和方程的解。这就是这种方法在实际中很有用的主要原因。

当 $x^2$ 的系数不是 $1$ 时

如果二次式是 $ax^2 + bx + c$ 且 $a \ne 1$，先从 $x^2$ 和 $x$ 项中提取 $a$。只有当二次部分的首项系数变成 $1$ 后，“先取一半再平方”的快捷方法才能直接使用。

例如，

$$2x^2 + 8x + 1$$

变成

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

在括号内，$4$ 的一半是 $2$，所以要在里面加上 $4$：

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

化简得到

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

这里平衡项是 $-8$，不是 $-4$，因为加上的 $4$ 在被 $2$ 乘着的括号里面。

常见错误

1. 先平方再取一半。对于 $x^2 + 10x$，所需的项是 $25$，不是 $100$。
2. 忘记平衡多加的项。如果你加上一个数来凑平方，也必须减去同样的总量。
3. 跳过首项系数这一步。如果二次式以 $2x^2$ 或 $3x^2$ 开头，先从二次部分把这个系数提出来。
4. 符号弄错。$(x - 4)^2$ 展开是 $x^2 - 8x + 16$，不是 $x^2 + 8x + 16$。

学生什么时候会用到配方法

通常在以下情况会看到这种方法：

1. 求解一个不容易因式分解的二次方程
2. 把二次式改写成顶点式
3. 求二次函数的最大值或最小值
4. 理解求根公式是怎么来的

快速检查

配方完成后，把你的答案展开，确认能准确还原成原式。

例如，如果你写出

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

那么展开后得到 $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$。这就说明改写是正确的。

试一道类似的题

试试 $x^2 - 8x + 1$。$-8$ 的一半是 $-4$，所以平方部分应当包含 $(x - 4)^2$。

如果你想做一个有用的对比，可以用求根公式解同一个二次方程，看看两种方法是否得到相同的根。