Compléter le carré

Compléter le carré consiste à réécrire un trinôme du second degré sous une forme comme $(x - h)^2 + k$. Cela rend le graphique plus facile à lire et donne une méthode fiable pour résoudre des équations du second degré quand la factorisation n’est pas pratique.

Si la partie quadratique commence par $x^2 + bx$, l’identité clé est :

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

On ajoute exactement le terme nécessaire pour former un carré, puis on soustrait ce même terme pour que la valeur reste inchangée.

Ce que signifie compléter le carré

Un trinôme carré parfait provient du carré d’un binôme :

$$\left(x + p\right)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

ou

$$\left(x - p\right)^2 = x^2 - 2px + p^2$$

Compléter le carré consiste à réécrire une partie d’un trinôme du second degré pour qu’elle corresponde exactement à l’un de ces modèles.

La règle rapide est la suivante : dans $x^2 + bx$, on prend la moitié de $b$, puis on l’élève au carré.

On obtient alors la constante nécessaire :

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Pourquoi prendre la moitié puis élever au carré fonctionne

On part de

$$x^2 + bx$$

On ajoute $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ :

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Le trinôme se factorise alors en

$$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

Donc l’expression de départ peut se réécrire sous la forme

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

On ne change pas la quantité. On change seulement sa forme.

Exemple détaillé : réécrire et résoudre $x^2 + 6x + 5 = 0$

On commence avec

$$x^2 + 6x + 5$$

On se concentre sur $x^2 + 6x$. La moitié de $6$ est $3$, et $3^2 = 9$, donc $9$ est le terme qui complète le carré.

On ajoute et on soustrait $9$ :

$$x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

On regroupe le carré et on simplifie :

$$= \left(x + 3\right)^2 - 4$$

La structure est maintenant plus claire. Le sommet est $(-3, -4)$, donc le graphique atteint son minimum lorsque $x = -3$.

Pour résoudre l’équation $x^2 + 6x + 5 = 0$, on pose la forme réécrite égale à zéro :

$$\left(x + 3\right)^2 - 4 = 0$$

On passe $4$ de l’autre côté :

$$\left(x + 3\right)^2 = 4$$

On prend la racine carrée :

$$x + 3 = \pm 2$$

Puis on résout pour $x$ :

$$x = -1 \text{ or } x = -5$$

Une seule réécriture donne à la fois le sommet et les solutions. C’est la principale raison pratique pour laquelle cette méthode est utile.

Quand le coefficient de $x^2$ n’est pas égal à $1$

Si le trinôme commence par $ax^2 + bx + c$ avec $a \ne 1$, factorisez d’abord $a$ des termes en $x^2$ et en $x$. L’astuce « moitié puis carré » ne s’applique directement qu’après avoir obtenu un coefficient directeur égal à $1$ dans la partie quadratique.

Par exemple,

$$2x^2 + 8x + 1$$

devient

$$2\left(x^2 + 4x\right) + 1$$

À l’intérieur des parenthèses, la moitié de $4$ est $2$, donc on y ajoute $4$ :

$$2\left(x^2 + 4x + 4\right) + 1 - 8$$

Cela se simplifie en

$$2\left(x + 2\right)^2 - 7$$

Le terme d’équilibrage est $-8$, et non $-4$, parce que le $4$ ajouté était à l’intérieur de parenthèses multipliées par $2$.

Erreurs fréquentes

1. Élever au carré avant de prendre la moitié. Pour $x^2 + 10x$, le terme nécessaire est $25$, pas $100$.
2. Oublier d’équilibrer le terme ajouté. Si vous ajoutez une valeur pour former un carré, vous devez aussi soustraire la même valeur totale.
3. Sauter l’étape du coefficient directeur. Si le trinôme commence par $2x^2$ ou $3x^2$, factorisez d’abord ce coefficient dans la partie quadratique.
4. Perdre le signe. $(x - 4)^2$ se développe en $x^2 - 8x + 16$, et non en $x^2 + 8x + 16$.

Quand les élèves utilisent la complétion du carré

Vous verrez généralement cette méthode quand il faut :

1. Résoudre un trinôme du second degré qui ne se factorise pas facilement
2. Réécrire un trinôme sous forme canonique
3. Trouver la valeur maximale ou minimale d’une fonction quadratique
4. Comprendre d’où vient la formule quadratique

Vérification rapide

Après avoir complété le carré, développez votre réponse et vérifiez que vous retrouvez exactement l’expression de départ.

Par exemple, si vous affirmez que

$$x^2 + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^2 - 4$$

alors en développant, on obtient $x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$. Cela confirme la réécriture.

Essayez un problème similaire

Essayez avec $x^2 - 8x + 1$. La moitié de $-8$ est $-4$, donc la partie carrée doit faire intervenir $(x - 4)^2$.

Si vous voulez une comparaison utile, résolvez le même trinôme avec la formule quadratique et vérifiez que les deux méthodes donnent les mêmes racines.