นิพจน์เศษส่วนพหุนาม

นิพจน์เศษส่วนพหุนามคือเศษส่วนที่มีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม เช่น $\frac{x+1}{x-3}$. ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ ดังนั้นนิพจน์เศษส่วนพหุนามทุกนิพจน์จึงมีค่าบางค่าที่ใช้ไม่ได้

โดยทั่วไป นิพจน์เศษส่วนพหุนามมีรูปแบบเป็น

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

โดยที่ $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นพหุนาม และ $Q(x) \ne 0$.

ถ้าคุณต้องการเข้าใจนิพจน์เศษส่วนพหุนามอย่างรวดเร็ว ให้จำ 2 แนวคิดนี้ไปพร้อมกัน: มันทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้เหมือนเศษส่วน และข้อจำกัดของโดเมนมาจากตัวส่วนเดิม

นิพจน์เศษส่วนพหุนามคืออะไร?

นิพจน์อย่างเช่น

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

เป็นนิพจน์เศษส่วนพหุนาม เพราะแต่ละนิพจน์เป็นผลหารของพหุนาม

ในทางตรงกันข้าม $\frac{1}{\sqrt{x}}$ โดยทั่วไปจะไม่ถือเป็นนิพจน์เศษส่วนพหุนามในพีชคณิตพื้นฐาน เพราะ $\sqrt{x}$ ไม่ใช่พหุนาม

วิธีทำให้นิพจน์เศษส่วนพหุนามอยู่ในรูปอย่างง่ายอย่างปลอดภัย

กฎสำคัญนั้นง่ายมาก: ตัดทอนตัวประกอบ ไม่ใช่พจน์ ถ้าเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกัน คุณสามารถหารด้วยตัวประกอบนั้นได้ แต่คุณไม่สามารถตัดบางส่วนของผลบวกหรือผลต่างได้

ตัวอย่างเช่น

$$\frac{x+1}{x+3}$$

ไม่สามารถทำให้ง่ายลงได้ด้วยการ "ตัด $x$". เพราะทั้งเศษและส่วนเป็นผลบวก ไม่ใช่ตัวประกอบที่ตรงกัน

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมต้องแยกตัวประกอบก่อน การแยกตัวประกอบจะแสดงให้เห็นว่ามีตัวประกอบร่วมจริงหรือไม่

ตัวอย่างทำโจทย์: ทำให้นิพจน์เศษส่วนพหุนามอยู่ในรูปอย่างง่าย

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

ก่อนทำให้ง่ายลง ให้หาค่าที่ทำให้ตัวส่วนเดิมเป็นศูนย์:

$$x^2 + x = x(x+1),$$

ดังนั้น $x \ne 0$ และ $x \ne -1$.

ตอนนี้แยกตัวประกอบทั้งสองส่วน:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

และ

$$x^2+x = x(x+1).$$

ดังนั้นนิพจน์จะกลายเป็น

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

ตอนนี้มีตัวประกอบร่วมคือ $(x+1)$ จึงตัดทอนได้:

$$\frac{x-1}{x}.$$

ดังนั้นนิพจน์ที่ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้วคือ $\frac{x-1}{x}$ โดยมีเงื่อนไขเดิมคือ $x \ne 0$ และ $x \ne -1$.

ตัวประกอบ $(x+1)$ หายไปจากเศษส่วนสุดท้าย แต่เงื่อนไข $x \ne -1$ ไม่ได้หายไป นิพจน์เดิมไม่มีนิยามที่ค่านั้น ดังนั้นคำตอบที่ทำให้ง่ายแล้วต้องคงเงื่อนไขนี้ไว้

ทำไมข้อจำกัดของโดเมนจึงสำคัญ

นี่ไม่ใช่แค่รายละเอียดทางเทคนิคเท่านั้น แต่มันเปลี่ยนว่าค่าใดบ้างที่อยู่ในโดเมนของนิพจน์ หรือก็คือเซตของค่าป้อนเข้าที่นิพจน์มีความหมาย

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ที่ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว

$$\frac{x-1}{x}$$

มีนิยามที่หลายค่า แต่เมื่อมันมาจาก

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

ค่าที่ $x=-1$ ก็ยังต้องถูกตัดออก เพราะตัวส่วนเดิมเป็นศูนย์ที่ค่านั้น

การทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายอาจเปลี่ยนหน้าตาของนิพจน์เศษส่วนพหุนาม แต่ไม่ได้ลบจุดที่นิพจน์เดิมไม่มีนิยามออกไป

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับนิพจน์เศษส่วนพหุนาม

1. ตัดทอนพจน์แทนที่จะตัดทอนตัวประกอบ นี่คือข้อผิดพลาดทางพีชคณิตที่พบบ่อยที่สุดเกี่ยวกับนิพจน์เศษส่วนพหุนาม
2. ลืมแยกตัวประกอบก่อน ถ้าไม่แยกตัวประกอบ คุณมักจะมองไม่เห็นว่าการตัดทอนนั้นทำได้อย่างถูกต้องหรือไม่
3. ลืมเงื่อนไขของตัวส่วนหลังจากทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ข้อจำกัดเหล่านี้มาจากตัวส่วนเดิม
4. คิดว่านิพจน์เศษส่วนพหุนามทุกนิพจน์ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้ บางนิพจน์ก็อยู่ในรูปอย่างง่ายอยู่แล้ว

นิพจน์เศษส่วนพหุนามถูกใช้เมื่อใด

นิพจน์เศษส่วนพหุนามพบได้ในพีชคณิต พรีแคลคูลัส และแคลคูลัส คุณจะเจอมันเมื่อทำสูตรให้ง่ายลง แก้สมการเศษส่วน ศึกษากราฟที่มีเส้นกำกับแนวดิ่ง และตั้งรูปการแยกเศษส่วนย่อย

มันสำคัญเพราะสูตรจำนวนมากอยู่ในรูปอัตราส่วน เมื่อคุณแยกตัวประกอบ ทำให้ง่ายลง และติดตามเงื่อนไขได้แล้ว หัวข้อที่เรียนต่อจากนี้จะจัดการได้ง่ายขึ้นมาก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

แยกตัวประกอบก่อน ตัดทอนเฉพาะตัวประกอบร่วมถ้ามี และเขียนเงื่อนไขของตัวแปรจากตัวส่วนเดิม จากนั้นตรวจดูว่าคำตอบสุดท้ายของคุณยังคงตัดค่าทุกค่าที่ตัวส่วนเดิมไม่อนุญาตออกไว้อยู่หรือไม่