อนุกรมเทย์เลอร์ vs. อนุกรมแมคลอริน

ความต่างระหว่างอนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินสรุปได้ด้วยข้อเท็จจริงเดียว: อนุกรมแมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ $0$ ถ้าศูนย์กลางคือ $a = 0$ ก็เป็นแมคลอริน ถ้าศูนย์กลางเป็นค่าอื่น ก็เป็นอนุกรมเทย์เลอร์

ฟังดูเหมือนเป็นแค่การเปลี่ยนชื่อเล็กน้อย แต่จุดศูนย์กลางสำคัญมาก เพราะโดยทั่วไปอนุกรมจะมีประโยชน์ที่สุดใกล้จุดที่มันถูกสร้างขึ้น

ความต่างในสูตรเดียว

ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์มากพอที่จุด $a$ อนุกรมเทย์เลอร์รอบ $a$ คือ

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

ถ้ากำหนด $a = 0$ จะได้อนุกรมแมคลอริน:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

ดังนั้นโครงสร้างของอนุกรมไม่ได้เปลี่ยน สิ่งที่เปลี่ยนคือจุดศูนย์กลาง

ทำไมจุดศูนย์กลางจึงสำคัญ

สัมประสิทธิ์มาจากค่าอนุพันธ์ที่ประเมิน ณ จุดศูนย์กลาง ถ้าเปลี่ยนจุดศูนย์กลาง ตัวเลขในอนุกรมก็มักจะเปลี่ยนตามไปด้วย

อนุกรมแมคลอรินถูกสร้างมาเพื่ออธิบายฟังก์ชันใกล้ $x = 0$ ส่วนอนุกรมเทย์เลอร์รอบ $a = 2$ ถูกสร้างมาเพื่ออธิบายฟังก์ชันเดียวกันใกล้ $x = 2$ ทั้งสองแบบอาจถูกต้องได้ แต่แบบหนึ่งอาจใช้งานได้จริงมากกว่าสำหรับค่าที่คุณสนใจ

คุณควรหลีกเลี่ยงการสรุปแรงเกินกว่าที่โจทย์ให้ได้ อนุกรมเทย์เลอร์หรือแมคลอรินถูกออกแบบมาให้เป็นการกระจายแบบเฉพาะที่เสมอ ว่ามันจะเท่ากับฟังก์ชันจริงบนช่วงหนึ่งหรือไม่ ขึ้นอยู่กับตัวฟังก์ชันและบริเวณที่อนุกรมลู่เข้า

ตัวอย่างคำนวณ: $e^x$ ที่จุดศูนย์กลางสองค่า

พิจารณา

$$f(x) = e^x$$

นี่เป็นตัวอย่างที่ดีสำหรับการเปรียบเทียบ เพราะอนุพันธ์ทุกอันดับของ $e^x$ ก็ยังคงเป็น $e^x$

อนุกรมแมคลอรินที่ $a = 0$

เมื่อ $a = 0$ ค่าอนุพันธ์ทุกอันดับคือ $f^{(n)}(0) = 1$ ดังนั้น

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

พจน์แรก ๆ คือ

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

อนุกรมเทย์เลอร์ที่ $a = 1$

ตอนนี้ให้ใช้ฟังก์ชันเดิมแต่เปลี่ยนศูนย์กลางเป็น $a = 1$ จะได้ว่าค่าอนุพันธ์ทุกอันดับที่จุดศูนย์กลางคือ $f^{(n)}(1) = e$ ดังนั้น

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

พจน์แรก ๆ คือ

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

ฟังก์ชันยังคงเดิม สิ่งที่เปลี่ยนมีเพียงจุดศูนย์กลาง นี่คือความต่างทั้งหมดระหว่างอนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินในตัวอย่างเดียว

ควรใช้แมคลอรินหรือเทย์เลอร์เมื่อไร

ใช้อ นุกรมแมคลอรินเมื่อ $0$ เป็นจุดอ้างอิงที่เหมาะสมตามธรรมชาติ หรือเมื่อหาอนุพันธ์ที่ $0$ ได้ง่าย

ใช้อ นุกรมเทย์เลอร์รอบค่า $a$ อื่น เมื่อคุณต้องการการประมาณเชิงเฉพาะที่ที่ดีใกล้ค่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการประมาณพฤติกรรมใกล้ $x = 3$ การกระจายรอบ $a = 3$ มักดีกว่าการกระจายรอบ $0$

ข้อผิดพลาดที่นักเรียนมักทำ

คิดว่าเป็นคนละแนวคิดกัน

จริง ๆ แล้วไม่ใช่คนละทฤษฎี แมคลอรินเป็นเพียงกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของเทย์เลอร์

มองข้ามจุดศูนย์กลาง

อนุกรมสองชุดของฟังก์ชันเดียวกันอาจใช้ได้ทั้งคู่ แต่อนุกรมที่มีศูนย์กลางใกล้ค่าที่คุณต้องการมักเป็นการประมาณที่มีประโยชน์กว่า

คิดว่าอนุกรมต้องเท่ากับฟังก์ชันเสมอ

สิ่งนี้ไม่ได้เป็นจริงโดยอัตโนมัติ คำตอบขึ้นอยู่กับฟังก์ชันและช่วงที่พิจารณา ข้อความที่ปลอดภัยกว่าคือ อนุกรมให้การกระจายแบบเฉพาะที่รอบจุดศูนย์กลางของมัน แล้วจึงตรวจสอบการลู่เข้าหากโจทย์ต้องการมากกว่านั้น

เรื่องนี้พบได้ตรงไหนในแคลคูลัส

อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอรินปรากฏเมื่อคุณประมาณฟังก์ชัน ศึกษาพฤติกรรมเฉพาะที่ แก้สมการเชิงอนุพันธ์ หรือแทนที่นิพจน์ที่ซับซ้อนด้วยพหุนามที่จัดการได้ง่ายกว่า

คำถามที่วนกลับมาเสมอนั้นง่ายมาก: จุดใดทำให้แบบจำลองเฉพาะที่มีประโยชน์ที่สุด?

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

เขียนอนุกรมของ $\sin x$ สองครั้ง: ครั้งหนึ่งที่ $a = 0$ และอีกครั้งที่ $a = \pi/4$ การเปรียบเทียบการกระจายสองแบบนี้เป็นหนึ่งในวิธีที่เร็วที่สุดที่จะทำให้เห็นความต่างได้ชัดเจน