Séries de Taylor et de Maclaurin

La différence entre une série de Taylor et une série de Maclaurin tient à un seul fait : une série de Maclaurin est une série de Taylor centrée en $0$. Si le centre est $a = 0$, c’est une série de Maclaurin. Si le centre est une autre valeur, c’est une série de Taylor.

Cela peut sembler n’être qu’un simple changement de nom, mais le centre compte, car une série est généralement la plus utile près du point autour duquel elle est construite.

La différence en une formule

Si une fonction admet suffisamment de dérivées en $a$, sa série de Taylor au voisinage de $a$ est

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Si l’on pose $a = 0$, on obtient la série de Maclaurin :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

La structure ne change donc pas. C’est le centre qui change.

Pourquoi le centre est important

Les coefficients proviennent des dérivées évaluées au centre. Si l’on change le centre, les nombres dans la série changent généralement eux aussi.

Une série de Maclaurin est construite pour décrire la fonction près de $x = 0$. Une série de Taylor autour de $a = 2$ est construite pour décrire la même fonction près de $x = 2$. Les deux peuvent être correctes, mais l’une peut être bien plus pratique pour la valeur qui vous intéresse.

Il faut aussi éviter d’affirmer plus que ce que l’exercice permet. Une série de Taylor ou de Maclaurin est toujours conçue comme un développement local. Le fait qu’elle soit réellement égale à la fonction sur un intervalle dépend de la fonction et de l’endroit où la série converge.

Exemple détaillé : $e^x$ avec deux centres différents

Prenons

$$f(x) = e^x$$

C’est un bon exemple de comparaison, car toute dérivée de $e^x$ est encore $e^x$.

Série de Maclaurin en $a = 0$

En $a = 0$, chaque dérivée vaut $f^{(n)}(0) = 1$, donc

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Les premiers termes sont

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Série de Taylor en $a = 1$

Centrons maintenant la même fonction en $a = 1$. Alors chaque dérivée au centre vaut $f^{(n)}(1) = e$, donc

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Les premiers termes sont

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

La fonction n’a pas changé. Seul le centre a changé. C’est toute la différence entre les séries de Taylor et de Maclaurin dans cet exemple.

Quand utiliser Maclaurin ou Taylor

Utilisez une série de Maclaurin lorsque $0$ est le point de référence naturel ou lorsque les dérivées en $0$ sont faciles à calculer.

Utilisez une série de Taylor autour d’une autre valeur $a$ lorsque vous avez besoin d’une bonne approximation locale près de cette valeur. Par exemple, si vous voulez estimer le comportement près de $x = 3$, développer autour de $a = 3$ est généralement préférable à un développement autour de $0$.

Erreurs fréquentes des étudiants

Les traiter comme deux idées différentes

Ce ne sont pas deux théories différentes. Maclaurin est un cas particulier de Taylor.

Ignorer le centre

Deux séries d’une même fonction peuvent être valides, mais celle qui est centrée près de la valeur visée est généralement l’approximation la plus utile.

Supposer que la série est toujours égale à la fonction

Ce n’est pas automatique. La réponse dépend de la fonction et de l’intervalle. L’affirmation prudente est que la série donne un développement local autour de son centre, puis on vérifie la convergence si l’exercice demande davantage.

Où voit-on cela en calcul différentiel et intégral ?

Les séries de Taylor et de Maclaurin apparaissent lorsqu’on approche des fonctions, qu’on étudie un comportement local, qu’on résout des équations différentielles ou qu’on remplace une expression compliquée par un polynôme plus facile à manipuler.

La question qui revient sans cesse est simple : quel point rend le modèle local le plus utile ?

Essayez un exercice similaire

Écrivez la série de $\sin x$ deux fois : une fois en $a = 0$ et une fois en $a = \pi/4$. Comparer ces deux développements est l’un des moyens les plus rapides de bien comprendre la différence.