Serie di Taylor vs. serie di Maclaurin

La differenza tra serie di Taylor e serie di Maclaurin si riduce a un solo fatto: una serie di Maclaurin è una serie di Taylor centrata in $0$. Se il centro è $a = 0$, allora è una serie di Maclaurin. Se il centro è un qualsiasi altro valore, allora è una serie di Taylor.

Può sembrare solo un piccolo cambio di nome, ma il centro conta perché una serie è di solito più utile vicino al punto attorno a cui è costruita.

La differenza in una formula

Se una funzione ha abbastanza derivate in $a$, la sua serie di Taylor attorno ad $a$ è

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Se poni $a = 0$, ottieni la serie di Maclaurin:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Quindi la struttura non cambia. Cambia il centro.

Perché il centro conta

I coefficienti derivano dalle derivate valutate nel centro. Se cambi il centro, di solito cambiano anche i numeri nella serie.

Una serie di Maclaurin è costruita per descrivere la funzione vicino a $x = 0$. Una serie di Taylor attorno ad $a = 2$ è costruita per descrivere la stessa funzione vicino a $x = 2$. Entrambe possono essere corrette, ma una può essere molto più pratica per il valore che ti interessa.

Dovresti anche evitare di fare affermazioni più forti di quelle consentite dal problema. Una serie di Taylor o di Maclaurin è sempre pensata come uno sviluppo locale. Il fatto che coincida davvero con la funzione su un intervallo dipende dalla funzione e da dove la serie converge.

Esempio svolto: $e^x$ in due centri diversi

Prendi

$$f(x) = e^x$$

Questo è un buon confronto perché ogni derivata di $e^x$ è ancora $e^x$.

Serie di Maclaurin in $a = 0$

In $a = 0$, ogni valore della derivata è $f^{(n)}(0) = 1$, quindi

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

I primi termini sono

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Serie di Taylor in $a = 1$

Ora centra la stessa funzione in $a = 1$. Allora ogni valore della derivata nel centro è $f^{(n)}(1) = e$, quindi

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

I primi termini sono

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

La funzione è rimasta la stessa. È cambiato solo il centro. Questa è tutta la differenza tra serie di Taylor e serie di Maclaurin in un unico esempio.

Quando usare Maclaurin o Taylor

Usa una serie di Maclaurin quando $0$ è il punto di riferimento naturale oppure quando le derivate in $0$ sono facili da calcolare.

Usa una serie di Taylor attorno a un altro valore $a$ quando ti serve una buona approssimazione locale vicino a quel valore. Per esempio, se vuoi stimare il comportamento vicino a $x = 3$, sviluppare attorno ad $a = 3$ è di solito meglio che sviluppare attorno a $0$.

Errori comuni degli studenti

Trattarle come idee diverse

Non sono teorie diverse. Maclaurin è un caso particolare di Taylor.

Ignorare il centro

Due serie della stessa funzione possono essere entrambe valide, ma quella centrata vicino al valore che ti interessa è di solito l'approssimazione più utile.

Supporre che la serie coincida sempre con la funzione

Non è automatico. La risposta dipende dalla funzione e dall'intervallo. L'affermazione sicura è che la serie fornisce uno sviluppo locale attorno al suo centro, e poi si controlla la convergenza se il problema richiede di andare oltre.

Dove si vede questo in analisi

Le serie di Taylor e di Maclaurin compaiono quando approssimi funzioni, studi il comportamento locale, risolvi equazioni differenziali o sostituisci un'espressione complicata con un polinomio più facile da usare.

La domanda che ritorna sempre è semplice: quale punto rende il modello locale più utile?

Prova un esercizio simile

Scrivi la serie di $\sin x$ due volte: una volta in $a = 0$ e una volta in $a = \pi/4$. Confrontare questi due sviluppi è uno dei modi più rapidi per fissare bene la differenza.