Taylor- vs. Maclaurin-Reihe

Der Unterschied zwischen Taylor- und Maclaurin-Reihen läuft auf eine Tatsache hinaus: Eine Maclaurinreihe ist eine Taylorreihe mit Zentrum bei $0$. Wenn das Zentrum $a = 0$ ist, ist es eine Maclaurinreihe. Wenn das Zentrum ein anderer Wert ist, ist es eine Taylorreihe.

Das klingt nach einer kleinen Namensänderung, aber das Zentrum ist wichtig, weil eine Reihe normalerweise in der Nähe des Punkts am nützlichsten ist, um den sie aufgebaut wurde.

Der Unterschied in einer Formel

Wenn eine Funktion bei $a$ genügend Ableitungen hat, dann ist ihre Taylorreihe um $a$

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Setzt man $a = 0$, erhält man die Maclaurinreihe:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Die Struktur ändert sich also nicht. Das Zentrum ändert sich.

Warum das Zentrum wichtig ist

Die Koeffizienten stammen aus den Ableitungen, die am Zentrum ausgewertet werden. Ändert man das Zentrum, ändern sich normalerweise auch die Zahlen in der Reihe.

Eine Maclaurinreihe ist dafür gemacht, die Funktion in der Nähe von $x = 0$ zu beschreiben. Eine Taylorreihe um $a = 2$ ist dafür gemacht, dieselbe Funktion in der Nähe von $x = 2$ zu beschreiben. Beide können korrekt sein, aber eine kann für den Wert, der dich interessiert, viel praktischer sein.

Du solltest außerdem keine stärkere Aussage machen, als die Aufgabe erlaubt. Eine Taylor- oder Maclaurinreihe ist immer als lokale Entwicklung gedacht. Ob sie auf einem Intervall tatsächlich mit der Funktion übereinstimmt, hängt von der Funktion und davon ab, wo die Reihe konvergiert.

Durchgerechnetes Beispiel: $e^x$ bei zwei verschiedenen Zentren

Nimm

$$f(x) = e^x$$

Das ist ein guter Vergleich, weil jede Ableitung von $e^x$ wieder $e^x$ ist.

Maclaurinreihe bei $a = 0$

Bei $a = 0$ gilt für jeden Ableitungswert $f^{(n)}(0) = 1$, also

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Die ersten paar Terme sind

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Taylorreihe bei $a = 1$

Zentriere nun dieselbe Funktion bei $a = 1$. Dann gilt für jeden Ableitungswert im Zentrum $f^{(n)}(1) = e$, also

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Die ersten paar Terme sind

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

Die Funktion ist gleich geblieben. Nur das Zentrum hat sich geändert. Das ist der ganze Unterschied zwischen Taylor- und Maclaurin-Reihen in einem Beispiel.

Wann man Maclaurin oder Taylor verwendet

Verwende eine Maclaurinreihe, wenn $0$ der natürliche Bezugspunkt ist oder wenn Ableitungen bei $0$ leicht zu berechnen sind.

Verwende eine Taylorreihe um einen anderen Wert $a$, wenn du eine gute lokale Näherung in der Nähe dieses Werts brauchst. Wenn du zum Beispiel das Verhalten nahe $x = 3$ abschätzen willst, ist eine Entwicklung um $a = 3$ normalerweise besser als eine Entwicklung um $0$.

Häufige Fehler von Schülern und Studierenden

Sie als verschiedene Konzepte behandeln

Es sind keine verschiedenen Theorien. Maclaurin ist ein Spezialfall von Taylor.

Das Zentrum ignorieren

Zwei Reihen derselben Funktion können beide gültig sein, aber die Reihe mit einem Zentrum nahe deinem Zielwert ist normalerweise die nützlichere Näherung.

Annehmen, dass die Reihe immer gleich der Funktion ist

Das ist nicht automatisch so. Die Antwort hängt von der Funktion und dem Intervall ab. Die sichere Aussage ist, dass die Reihe eine lokale Entwicklung um ihr Zentrum liefert, und dann prüft man die Konvergenz, wenn die Aufgabe mehr verlangt.

Wo das in der Analysis vorkommt

Taylor- und Maclaurin-Reihen tauchen auf, wenn du Funktionen näherst, lokales Verhalten untersuchst, Differentialgleichungen löst oder einen komplizierten Ausdruck durch ein Polynom ersetzt, mit dem man leichter arbeiten kann.

Die wiederkehrende Frage ist einfach: Welcher Punkt macht das lokale Modell am nützlichsten?

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Schreibe die Reihe für $\sin x$ zweimal auf: einmal bei $a = 0$ und einmal bei $a = \pi/4$. Der Vergleich dieser beiden Entwicklungen ist einer der schnellsten Wege, damit sich der Unterschied einprägt.