테일러 급수와 매클로린 급수의 차이

테일러 급수와 매클로린 급수의 차이는 한 가지 사실로 정리됩니다. 매클로린 급수는 중심이 $0$인 테일러 급수라는 점입니다. 중심이 $a = 0$이면 매클로린 급수이고, 중심이 다른 값이면 테일러 급수입니다.

이름만 조금 바뀐 것처럼 보일 수 있지만, 중심은 중요합니다. 급수는 보통 전개한 점 근처에서 가장 유용하기 때문입니다.

하나의 공식으로 보는 차이

함수가 점 $a$에서 충분히 많은 도함수를 가지면, $a$를 중심으로 한 테일러 급수는 다음과 같습니다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

여기서 $a = 0$을 대입하면 매클로린 급수가 됩니다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

즉, 구조는 바뀌지 않습니다. 바뀌는 것은 중심입니다.

왜 중심이 중요한가

계수는 중심에서 계산한 도함수값으로 정해집니다. 중심이 바뀌면 급수에 들어가는 수들도 보통 함께 바뀝니다.

매클로린 급수는 $x = 0$ 근처에서 함수를 설명하도록 만들어집니다. 반면 $a = 2$를 중심으로 한 테일러 급수는 같은 함수를 $x = 2$ 근처에서 설명하도록 만들어집니다. 둘 다 맞을 수 있지만, 내가 관심 있는 값에 따라 하나가 훨씬 더 실용적일 수 있습니다.

또한 문제에서 허용하는 것보다 더 강한 결론을 내리면 안 됩니다. 테일러 급수와 매클로린 급수는 언제나 국소 전개로 만들어집니다. 실제로 어떤 구간에서 함수와 완전히 같은지는 함수 자체와 급수의 수렴 구간에 따라 달라집니다.

계산 예제: $e^x$를 두 개의 다른 중심에서 보기

다음을 생각해 봅시다.

$$f(x) = e^x$$

이 함수는 비교하기에 좋습니다. $e^x$의 모든 도함수가 다시 $e^x$이기 때문입니다.

$a = 0$에서의 매클로린 급수

$a = 0$에서는 모든 도함수값이 $f^{(n)}(0) = 1$이므로,

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

앞의 몇 개 항은 다음과 같습니다.

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

$a = 1$에서의 테일러 급수

이제 같은 함수를 $a = 1$을 중심으로 전개해 봅시다. 그러면 중심에서의 모든 도함수값은 $f^{(n)}(1) = e$이므로,

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

앞의 몇 개 항은 다음과 같습니다.

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

함수는 그대로입니다. 바뀐 것은 중심뿐입니다. 이것이 하나의 예제로 보는 테일러 급수와 매클로린 급수의 전체 차이입니다.

매클로린 급수와 테일러 급수는 언제 쓰나

$0$이 자연스러운 기준점이거나 $0$에서의 도함수를 계산하기 쉬울 때는 매클로린 급수를 사용하세요.

어떤 다른 값 $a$ 근처에서 좋은 국소 근사가 필요하다면, 그 값을 중심으로 한 테일러 급수를 사용하세요. 예를 들어 $x = 3$ 근처의 거동을 추정하고 싶다면, 보통 $0$보다 $a = 3$을 중심으로 전개하는 편이 더 좋습니다.

학생들이 자주 하는 실수

서로 다른 개념으로 생각하기

둘은 다른 이론이 아닙니다. 매클로린은 테일러의 특별한 한 경우입니다.

중심을 무시하기

같은 함수에 대한 두 급수가 모두 올바를 수는 있습니다. 하지만 보통 내가 구하려는 값에 가까운 중심을 가진 급수가 더 유용한 근사입니다.

급수가 항상 함수와 같다고 가정하기

그것은 자동으로 성립하지 않습니다. 답은 함수와 구간에 따라 달라집니다. 안전한 표현은, 급수가 중심 주변의 국소 전개를 준다고 말한 뒤 문제에서 더 요구하면 수렴을 확인하는 것입니다.

미적분에서 어디에 등장하나

테일러 급수와 매클로린 급수는 함수를 근사할 때, 국소적인 거동을 연구할 때, 미분방정식을 풀 때, 또는 복잡한 식을 다루기 쉬운 다항식으로 바꿀 때 등장합니다.

반복해서 나오는 질문은 단순합니다. 어떤 점을 기준으로 잡아야 이 국소 모형이 가장 유용해질까?

비슷한 문제를 직접 해보기

$\sin x$의 급수를 두 번 써 보세요. 한 번은 $a = 0$에서, 또 한 번은 $a = \pi/4$에서 써 보세요. 이 두 전개를 비교해 보면 차이가 훨씬 빠르게 감이 잡힙니다.