泰勒级数与麦克劳林级数的区别

泰勒级数和麦克劳林级数的区别归结为一个事实：麦克劳林级数就是以 $0$ 为中心的泰勒级数。如果展开中心是 $a = 0$，它就是麦克劳林级数；如果中心是其他值，那就是泰勒级数。

这听起来只是名称上的小变化，但展开中心很重要，因为一个级数通常在它所围绕的点附近最有用。

用一个公式看出区别

如果函数在 $a$ 处有足够多阶导数，那么它在 $a$ 处的泰勒级数为

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

令 $a = 0$，就得到麦克劳林级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

所以，结构没有变，变的是展开中心。

为什么展开中心很重要

各项系数来自函数在展开中心处的导数值。中心一变，级数中的这些数通常也会随之改变。

麦克劳林级数是为了描述函数在 $x = 0$ 附近的行为而构造的。以 $a = 2$ 为中心的泰勒级数，则是为了描述同一个函数在 $x = 2$ 附近的行为。两者都可能是正确的，但对于你关心的取值，其中一个往往更实用。

你也不应作出比题目允许更强的结论。泰勒级数或麦克劳林级数本质上都是局部展开。它是否在某个区间上真的等于原函数，还取决于函数本身以及级数在哪些地方收敛。

例题：$e^x$ 在两个不同中心的展开

取

$$f(x) = e^x$$

这是一个很好的比较例子，因为 $e^x$ 的每一阶导数仍然是 $e^x$。

在 $a = 0$ 处的麦克劳林级数

当 $a = 0$ 时，每一阶导数在该点的值都是 $f^{(n)}(0) = 1$，所以

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

前几项为

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

在 $a = 1$ 处的泰勒级数

现在把同一个函数的展开中心改为 $a = 1$。那么每一阶导数在该点的值都是 $f^{(n)}(1) = e$，所以

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

前几项为

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

函数本身没有变，变的只有展开中心。这就是通过一个例子看清泰勒级数与麦克劳林级数全部区别的方式。

什么时候用麦克劳林级数，什么时候用泰勒级数

当 $0$ 是自然的参考点，或者在 $0$ 处求导比较容易时，使用麦克劳林级数。

当你需要在另一个值 $a$ 附近得到较好的局部近似时，就使用以该点为中心的泰勒级数。例如，如果你想估计 $x = 3$ 附近的行为，那么围绕 $a = 3$ 展开通常比围绕 $0$ 展开更好。

学生常犯的错误

把它们当成两种不同的思想

它们不是两套不同的理论。麦克劳林级数只是泰勒级数的一个特殊情形。

忽略展开中心

同一个函数的两个级数都可能成立，但以目标点附近为中心的那个，通常才是更有用的近似。

以为级数一定等于原函数

这并不是自动成立的。答案取决于函数本身和对应区间。更稳妥的说法是：级数给出了围绕其中心的局部展开；如果题目要求更多，再去检查收敛性。

在微积分中你会在哪里见到它

当你要近似函数、研究局部行为、求解微分方程，或者把复杂表达式替换成更容易处理的多项式时，泰勒级数和麦克劳林级数都会出现。

反复出现的核心问题其实很简单：选哪个点作为展开中心，才能让这个局部模型最有用？

试试类似的问题

把 $\sin x$ 的级数展开写两次：一次取 $a = 0$，一次取 $a = \pi/4$。比较这两个展开，是最快帮助你真正理解二者区别的方法之一。