Sequências e Séries — PA, PG, PH e Convergência

Uma sequência é uma lista ordenada de números. Uma série é o que você obtém ao somar termos dessa lista. Neste tópico, PA significa progressão aritmética, PG significa progressão geométrica, PH significa progressão harmônica, e convergência pergunta se os termos ou as somas parciais se aproximam de um valor finito.

Se você precisa da versão curta: PA tem diferença constante, PG tem razão constante, e PH é uma sequência cujos recíprocos formam uma PA. Para séries geométricas infinitas, a soma existe apenas quando $|r| < 1$.

Sequência vs. série: saiba qual pergunta você está respondendo

Se você escreve a lista

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

você tem uma sequência. Se você escreve a soma

$$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$$

você tem uma série.

Essa diferença mostra qual ferramenta usar. “Encontre o $n$-ésimo termo” é uma pergunta sobre sequência. “Encontre a soma dos primeiros $n$ termos” é uma pergunta sobre série.

PA, PG e PH: como identificar cada padrão

Progressão Aritmética (PA)

Uma PA varia pela mesma quantidade a cada passo. Se o primeiro termo é $a$ e a razão é $d$, então

$$a_n = a + (n-1)d$$

e a soma dos primeiros $n$ termos é

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$$

ou, de forma equivalente,

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$

Exemplo: $4, 7, 10, 13, \dots$ é uma PA porque cada termo aumenta em $3$.

Progressão Geométrica (PG)

Uma PG varia pelo mesmo fator a cada passo. Se o primeiro termo é $a$ e a razão é $r$, então

$$a_n = ar^{n-1}$$

e, para $r \ne 1$,

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Para uma série geométrica infinita, a soma existe apenas quando $|r| < 1$. Nesse caso,

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

Exemplo: $3, 6, 12, 24, \dots$ é uma PG porque cada termo é multiplicado por $2$.

Progressão Harmônica (PH)

Uma PH é definida por meio dos recíprocos. Uma sequência não nula $a_1, a_2, a_3, \dots$ está em PH se

$$\frac{1}{a_1},\ \frac{1}{a_2},\ \frac{1}{a_3},\dots$$

for uma PA.

Então, se

$$\frac{1}{a_n} = A + (n-1)d$$

com denominador não nulo, então

$$a_n = \frac{1}{A + (n-1)d}$$

Exemplo: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots$ é uma PH porque seus recíprocos $2, 4, 6, 8, \dots$ formam uma PA.

A PH é principalmente uma ideia de classificação na matemática escolar. Ao contrário de PA e PG, ela não vem com uma fórmula introdutória padrão de soma usada na maioria dos problemas básicos.

Convergência: quando um processo infinito tem um limite finito

Uma sequência converge se seus termos se aproximam de um limite fixo.

Por exemplo,

$$\frac{1}{n} \to 0 \quad \text{quando } n \to \infty$$

então a sequência $\left(\frac{1}{n}\right)$ converge para $0$.

Uma série converge se suas somas parciais se aproximam de um limite fixo. Se

$$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

e os números $S_n$ se aproximam de algum valor finito $S$, então a série infinita converge para $S$.

Esse é o ponto que muitos estudantes deixam passar: uma sequência convergente não produz automaticamente uma série convergente. Os termos tenderem a $0$ é necessário para a convergência de uma série, mas essa condição sozinha não basta.

Por exemplo, a sequência harmônica

$$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\dots$$

converge para $0$ como sequência de termos, mas a série harmônica

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

não converge para uma soma finita.

Exemplo resolvido: teste uma PG e some a série infinita

Considere a série geométrica infinita

$$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots$$

Ela vem da PG

$$6,\ 3,\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{4},\dots$$

Aqui o primeiro termo é $a = 6$ e a razão é

$$r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Como $|r| = \frac{1}{2} < 1$, a série infinita converge. Sua soma é

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

O passo principal é verificar a condição antes de usar a fórmula. Se $|r| < 1$, uma série geométrica infinita converge. Se $|r| \ge 1$, ela não converge para uma soma finita.

Erros comuns com sequências, séries e convergência

Confundir um termo com uma soma

O termo $a_5$ e a soma $S_5$ não são o mesmo tipo de resposta. Um é um termo de uma lista. O outro é um total.

Usar o teste da diferença em uma PG

Se o padrão é multiplicar por $2$, então ele é geométrico, mesmo que os números estejam aumentando de forma regular. Diferença constante e razão constante são testes diferentes.

Esquecer a condição de convergência para uma PG infinita

A fórmula

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

funciona apenas quando $|r| < 1$.

Achar que “os termos vão para zero” é suficiente

Para séries, isso é apenas uma primeira verificação. A série harmônica é o contraexemplo clássico.

Tratar PH como “qualquer coisa com frações”

Uma PH não é apenas uma sequência de frações. Seus recíprocos precisam formar uma PA.

Onde PA, PG, PH e convergência são usadas

A PA modela uma variação aditiva constante, como guardar a mesma quantia todo mês. A PG modela multiplicação repetida, como crescimento composto ou decaimento repetido. A PH aparece na álgebra escolar e em problemas nos quais relações recíprocas são o padrão natural.

A convergência importa sempre que o processo é infinito ou muito longo. Ela aparece em séries infinitas, métodos de aproximação, finanças e tópicos posteriores como séries de potências e cálculo.

Tente um problema parecido

Considere a PG

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\dots$$

Encontre a razão, depois decida se a série infinita $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ converge. Depois disso, compare com a PA $8, 4, 0, -4, \dots$ para ver como o teste de “diferença vs. razão” separa rapidamente os dois padrões.

Se quiser dar o próximo passo, tente criar sua própria versão com um primeiro termo e uma razão diferentes, e verifique a condição de convergência antes de calcular qualquer soma infinita.