Como Resolver Inequações

Resolver inequações significa encontrar todos os valores que tornam uma comparação verdadeira. Se você já sabe resolver uma equação básica, então já conhece quase todo o processo. A principal regra extra é esta: se você multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo, inverta o sinal da inequação.

Por exemplo, $2x - 5 \le 9$ pede todos os valores de $x$ que mantêm o lado esquerdo menor ou igual a $9$. A resposta normalmente é um intervalo de valores, e não um único número exato.

O Que Significa Resolver Uma Inequação

Uma equação pede o(s) valor(es) exato(s) que tornam os dois lados iguais. Uma inequação pede todos os valores que tornam um lado maior, menor, pelo menos tão grande ou no máximo tão grande quanto o outro.

Por exemplo, $x < 4$ significa que todo número menor que $4$ serve. Isso inclui $3$, $0$ e $-10$, mas não o próprio $4$. É por isso que as respostas de inequações descrevem um conjunto de números.

Regras Para Resolver Inequações

Estes passos mantêm uma inequação equivalente:

• Somar o mesmo número aos dois lados.
• Subtrair o mesmo número dos dois lados.
• Multiplicar os dois lados pelo mesmo número positivo.
• Dividir os dois lados pelo mesmo número positivo.

Se você multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo, inverta o sinal:

$$3 < 5$$

Multiplique os dois lados por $-1$:

$$-3 > -5$$

A afirmação continua verdadeira, mas só porque a direção mudou de $<$ para $>$.

Exemplo Resolvido: Resolva $-2x + 3 > 11$

Comece do mesmo jeito que você resolveria uma equação: isole o $x$.

Subtraia $3$ dos dois lados:

$$-2x > 8$$

Agora divida os dois lados por $-2$. Como você está dividindo por um número negativo, inverta o sinal da inequação:

$$x < -4$$

Esse é o conjunto solução completo. Isso significa que todo número menor que $-4$ torna a inequação original verdadeira.

Por Que o Sinal da Inequação Inverte

Números negativos invertem a ordem na reta numérica. Se $a < b$, então $-a > -b$.

É por isso que dividir $-2x > 8$ por $-2$ transforma a resposta em $x < -4$ em vez de $x > -4$. Você não está quebrando as regras. Você está preservando uma comparação verdadeira depois de alterar os dois lados por um fator negativo.

Verifique a Resposta Com Um Valor

Teste um valor que se encaixe na resposta, como $x = -5$:

$$-2(-5) + 3 = 13$$

Como $13 > 11$, a inequação original é verdadeira.

Agora teste um valor fora da resposta, como $x = 0$:

$$-2(0) + 3 = 3$$

Como $3 > 11$ é falso, isso confirma a solução $x < -4$.

Erros Comuns ao Resolver Inequações

O erro mais comum é esquecer de inverter o sinal depois de multiplicar ou dividir por um número negativo.

Outro erro é tratar a resposta como um único valor em vez de um intervalo. Por exemplo, $x \ge 2$ significa que infinitos valores servem, não apenas $x = 2$.

Um terceiro erro é dividir por uma expressão com variável sem saber o sinal dela. Se o sinal dessa expressão for desconhecido, a direção da inequação pode depender de uma condição.

Onde a Resolução de Inequações É Usada

Inequações aparecem sempre que um problema envolve limites em vez de igualdade exata. Exemplos comuns incluem notas de corte, restrições de orçamento, faixas de segurança, restrições de domínio e problemas de otimização.

Elas também aparecem em toda a álgebra, especialmente ao representar intervalos no gráfico, resolver inequações compostas e descrever soluções possíveis em situações reais.

Tente Uma Inequação Parecida

Tente resolver $5x - 7 \le 18$. Depois resolva $-3x + 4 \ge 1$ e compare a última etapa. Se quiser ir além, crie sua própria versão com coeficiente negativo e verifique se você inverteu o sinal no momento certo.