Drgania — ruch harmoniczny prosty, drgania tłumione i wymuszone

Drgania w fizyce to powtarzające się ruchy lub powtarzające się zmiany wokół położenia równowagi. Jeśli chcesz szybko zrozumieć ten temat, rozdziel trzy przypadki: idealny ruch harmoniczny prosty, drgania tracące energię oraz drgania wywołane przez zewnętrzną siłę okresową.

Masa na sprężynie, wahadło dla małych wychyleń i obwód prądu przemiennego mogą wykonywać drgania. Najprościej uporządkować je tak:

• Ruch harmoniczny prosty to przypadek idealny, w którym efekt przywracający jest proporcjonalny do wychylenia.
• Drgania tłumione oznaczają utratę energii, więc amplituda maleje z czasem.
• Drgania wymuszone oznaczają, że zewnętrzne okresowe wymuszenie stale napędza układ.

Jeśli częstotliwość wymuszająca jest bliska częstotliwości własnej układu, odpowiedź może stać się znacznie większa. To podstawowe zjawisko nazywa się rezonansem.

Co sprawia, że układ drga?

Układ drgający ma dwa składniki: położenie równowagi oraz efekt przywracający, który odpycha lub przyciąga układ z powrotem po wychyleniu. Gdy układ przechodzi z powrotem przez równowagę, bezwładność zwykle przenosi go poza środek, więc ruch się powtarza.

Taki powtarzający się ruch nie oznacza automatycznie ruchu harmonicznego prostego. Ruch harmoniczny prosty jest węższym, idealnym modelem z określonym warunkiem:

$$F = -kx$$

dla sprężyny, albo bardziej ogólnie: efekt przywracający proporcjonalny do wychylenia. Znak minus jest ważny, ponieważ pokazuje, że siła jest skierowana z powrotem ku równowadze.

Ruch harmoniczny prosty: przypadek idealny

W idealnym ruchu harmonicznym prostym przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia i skierowane przeciwnie:

$$a = -\omega^2 x$$

Ten warunek prowadzi do ruchu sinusoidalnego. Dla masy $m$ na sprężynie o stałej sprężystości $k$,

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

oraz

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

gdzie $T$ jest okresem.

Przydatna intuicja jest prosta: sztywniejsza sprężyna ciągnie mocniej, więc drgania są szybsze. Większa masa silniej przeciwstawia się przyspieszeniu, więc drgania są wolniejsze.

Drgania tłumione: dlaczego amplituda maleje

Rzeczywiste układy zwykle tracą energię. Opór powietrza, tarcie, odkształcenia wewnętrzne i opór elektryczny działają jak tłumienie.

Gdy tłumienie ma znaczenie, ruch nadal przez pewien czas jest drgający, ale amplituda staje się coraz mniejsza. Układ nie otrzymuje dość energii, by utrzymać pierwotny rozmiar ruchu.

Przy słabym tłumieniu ruch nadal wygląda w przybliżeniu okresowo. Przy silnym tłumieniu układ może wrócić do równowagi bez wykonania kolejnych pełnych drgań.

Drgania wymuszone i rezonans

Drgania wymuszone występują wtedy, gdy zewnętrzny wpływ okresowy stale pobudza układ. Dziecko rozhuśtujące huśtawkę, membrana głośnika napędzana sygnałem zmiennym albo budynek wstrząsany powtarzającym się ruchem gruntu to przykłady.

Kluczowe jest to, że znaczenie ma częstotliwość wymuszająca. Jeśli jest daleka od częstotliwości własnej, odpowiedź może pozostać niewielka. Jeśli jest bliska, amplituda może stać się dużo większa.

Ten obszar dużej odpowiedzi nazywa się rezonansem. Mówiąc precyzyjnie, dla słabego tłumienia najsilniejsza odpowiedź często pojawia się w pobliżu częstotliwości własnej, a dokładne maksimum zależy od tłumienia i od tego, jaką wielkość śledzisz.

Przykład obliczeniowy: jedna sprężyna, trzy idee

Załóżmy, że masa $0.50\ \mathrm{kg}$ jest przymocowana do idealnej sprężyny o $k = 200\ \mathrm{N/m}$.

Najpierw wyznacz częstotliwość kątową:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Teraz wyznacz okres:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Zatem w idealnym modelu ruchu harmonicznego prostego układ wykonuje jedno drganie w czasie około $0.314$ sekundy. Jego częstotliwość własna wynosi

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} \approx 3.18\ \mathrm{Hz}$$

co oznacza około $3.18$ drgań w każdej sekundzie.

Teraz użyj tego samego układu, aby zobaczyć szerszy obraz:

• Jeśli pominiesz tarcie i po prostu go puścisz, ruch będzie idealnym ruchem harmonicznym prostym.
• Jeśli występuje opór powietrza lub tarcie wewnętrzne, amplituda stopniowo maleje, więc są to drgania tłumione.
• Jeśli stale pobudzasz układ okresowo za pomocą silnika lub siły zewnętrznej, są to drgania wymuszone.

Jeśli ta siła wymuszająca powtarza się z częstością bliską około $3.18\ \mathrm{Hz}$ i tłumienie jest małe, odpowiedź może wzrosnąć znacznie bardziej niż poza rezonansem.

Ten jeden przykład wystarcza, by uporządkować temat: ruch harmoniczny prosty opisuje idealne zależności czasowe, tłumienie wyjaśnia, dlaczego rzeczywisty ruch zanika, a wymuszenie pokazuje, jak zewnętrzny wpływ może podtrzymywać lub zwiększać drgania.

Częste błędy przy drganiach

Nazywanie każdych drgań ruchem harmonicznym prostym

Sam ruch tam i z powrotem nie wystarcza. Ruch harmoniczny prosty wymaga efektu przywracającego proporcjonalnego do wychylenia.

Myślenie, że tłumienie zmienia tylko amplitudę

Przy słabym tłumieniu najbardziej widoczną zmianą jest zwykle malejąca amplituda, ale tłumienie zmienia też szczegóły ruchu. To nie jest tylko efekt wizualny.

Zakładanie, że ruch wymuszony zawsze rośnie bez ograniczeń

Rzeczywiste układy zwykle mają tłumienie, a ono ogranicza odpowiedź ustaloną. Bez tego łatwo źle zrozumieć rezonans.

Twierdzenie, że rezonans musi zawsze występować dokładnie przy częstotliwości własnej

To zbyt ogólne stwierdzenie. W fizyce wprowadzającej bezpieczniej jest mówić „w pobliżu częstotliwości własnej”, chyba że model i mierzona wielkość są dokładnie określone.

Gdzie drgania pojawiają się w fizyce

Modele drgań pojawiają się w układach mechanicznych, dźwięku i drganiach, obwodach elektrycznych, ruchu cząsteczek, zegarach, czujnikach i inżynierii konstrukcyjnej. Są ważne, ponieważ wiele rzeczywistych układów powtarza ruch, magazynuje energię, traci energię i silnie reaguje na okresowe wymuszenie.

Dlatego te same idee pojawiają się w bardzo różnych miejscach: zawieszenie samochodu, zegar wahadłowy, struna gitary i obwód RLC używają tego samego podstawowego języka częstotliwości własnej, tłumienia i wymuszenia.

Spróbuj podobnego zadania

Weź tę samą sprężynę i podwój masę do $1.0\ \mathrm{kg}$. Oblicz ponownie $T$ i częstotliwość własną, a następnie porównaj je z wartościami początkowymi. Potem zastanów się, co się stanie, jeśli okresowa siła wymuszająca działa blisko nowej częstotliwości własnej. Jeśli chcesz pójść dalej, spróbuj rozwiązać to samo zadanie dla wahadła albo obwodu RLC.