Średnie — średnia arytmetyczna, średnia ważona i średnia ruchoma

Średnia to jedna liczba, która podsumowuje zbiór wartości. W szkole słowo „średnia” często oznacza średnią arytmetyczną, ale lepszym wyborem może być średnia ważona albo średnia ruchoma, ponieważ każda z nich odpowiada na inne pytanie.

Używaj średniej arytmetycznej, gdy każda wartość ma liczyć się tak samo. Używaj średniej ważonej, gdy niektóre wartości powinny mieć większe znaczenie niż inne. Używaj średniej ruchomej, gdy dane są uporządkowane w czasie i chcesz wygładzić krótkoterminowe wzrosty i spadki.

Średnia arytmetyczna: używaj jej, gdy każda wartość powinna liczyć się tak samo

Średnia arytmetyczna to zwykła średnia:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Działa to wtedy, gdy każda obserwacja powinna mieć taki sam wpływ. Jeśli jedna wartość powinna mieć większe znaczenie niż inna, średnia arytmetyczna nie jest właściwym podsumowaniem.

Średnia wykorzystuje każdą wartość w zbiorze, co sprawia, że jest użyteczna i łatwa do porównywania między grupami. Jest też wrażliwa na wartości odstające, więc jedna wyjątkowo duża lub mała liczba może odsunąć ją od tego, co wydaje się typowe.

Średnia ważona: używaj jej, gdy niektóre wartości mają większe znaczenie

Średnia ważona nadaje różnym wartościom różne znaczenie:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Tutaj $x_i$ to wartość, a $w_i$ to jej waga. Większe wagi dają danej wartości większy wpływ na wynik.

To właściwe narzędzie, gdy zadanie już mówi, że niektóre części mają większe znaczenie. Oceny z różnych kategorii, stopy zwrotu z inwestycji według udziału w portfelu oraz średnie ceny według ilości mają właśnie taki charakter.

Jeden warunek jest ważny: łączna waga $\sum w_i$ nie może być równa $0$. Wynik ma sens tylko wtedy, gdy wagi rzeczywiście odpowiadają sytuacji, którą modelujesz.

Średnia ruchoma: używaj jej do wygładzania danych w czasie

Średnia ruchoma jest używana dla danych zapisanych w kolejności czasowej. Zamiast liczyć średnią z całego zbioru naraz, liczysz średnią z przesuwającego się okna ostatnich wartości.

Dla prostej średniej ruchomej o długości okna $k$:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Pomaga to wygładzić zaszumione dane, dzięki czemu łatwiej zobaczyć krótkoterminowy trend. Nie usuwa to zmienności i nie przewiduje przyszłości. To tylko podsumowanie ostatnich danych przy użyciu wybranego przez ciebie okna.

Długość okna ma znaczenie. Zmień okno, a średnia ruchoma też się zmieni. Dłuższe okno zwykle wygląda na gładsze, ponieważ reaguje wolniej.

Jeden rozwiązany przykład pokazujący różnicę

Załóżmy, że wyniki ucznia z ćwiczeń w ciągu pięciu tygodni to $70$, $75$, $80$, $85$ i $100$.

Jeśli chcesz uzyskać jedną ogólną średnią ze wszystkich pięciu tygodni, użyj średniej arytmetycznej:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Zatem średnia arytmetyczna wynosi $82$.

Załóżmy teraz, że nauczyciel chce, aby nowsze prace liczyły się bardziej, używając wag $1, 1, 1, 2, 2$. Wtedy średnia ważona wynosi

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

Zatem średnia ważona wynosi $85$. Nowsze wyniki mają większe znaczenie, więc wynik rośnie.

Jeśli zamiast tego chcesz wygładzić ostatni trend, użyj $3$-tygodniowej średniej ruchomej dla ostatnich trzech tygodni:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

To nie zastępuje średniej z całego kursu. Odpowiada na inne pytanie: jak wyglądały ostatnie wyniki?

Te same pięć liczb dało trzy różne średnie, ponieważ zmienił się cel. To jest kluczowa idea przy wyborze właściwej średniej.

Typowe błędy przy pracy ze średnimi

Używanie średniej arytmetycznej, gdy dane mają już wagi

Jeśli kategorie ocen, ilości lub procenty mają różne znaczenie, zwykła średnia może wprowadzać w błąd. Równe ważenie ma sens tylko wtedy, gdy każda wartość powinna wnosić taki sam wkład.

Liczenie średniej ze średnich bez zachowania pierwotnych wag

Jeśli jedna klasa ma $10$ uczniów, a druga $30$, zwykle nie można po prostu uśrednić obu średnich klasowych tak, jakby grupy były tej samej wielkości. Potrzebujesz pierwotnych liczebności lub wag.

Zapominanie o podzieleniu przez sumę wag

W przypadku średniej ważonej mnożenie wartości przez wagi to tylko część obliczeń. Nadal trzeba podzielić przez $\sum w_i$.

Podawanie średniej ruchomej bez długości okna

Średnia ruchoma jest niepełna, jeśli nie podasz, jakiego okna użyto. $3$-dniowa średnia ruchoma i $30$-dniowa średnia ruchoma nie są zamienne.

Kiedy używa się każdego rodzaju średniej

Używaj średniej arytmetycznej dla wyników testów, pomiarów lub innych danych, w których każda obserwacja powinna liczyć się tak samo.

Używaj średniej ważonej, gdy zadanie już przypisuje znaczenie poszczególnym elementom, na przykład kategoriom ocen lub sprzedanym ilościom.

Używaj średniej ruchomej dla danych zależnych od czasu, takich jak temperatury, sprzedaż, ruch drogowy lub postępy w nauce, gdy surowe wartości mocno zmieniają się z jednego okresu na następny.

Spróbuj podobnego zadania

Weź pięć liczb z własnych danych dotyczących pracy lub nauki. Oblicz średnią arytmetyczną, potem średnią ważoną, w której dwie ostatnie wartości liczą się podwójnie, a następnie $3$-elementową średnią ruchomą dla ostatniego okna. Takie szybkie porównanie zwykle pokazuje, jakiego rodzaju średniej naprawdę potrzebuje twoje zadanie.