훅의 법칙 — F = kx, 스프링 상수와 예제

훅의 법칙은 평형 위치에서 얼마나 변위되었는지에 따라 스프링 힘이 어떻게 달라지는지를 설명합니다. 스프링이 선형 탄성 범위 안에 있을 때 힘의 크기는

$$F = kx$$

입니다.

한 축을 따라 방향까지 고려하면 복원력의 형태는

$$F_x = -kx$$

입니다.

여기서 $k$는 스프링 상수이고, $x$는 평형 위치를 기준으로 측정한 늘어남 또는 압축량입니다. 마이너스 부호는 스프링 힘이 변위와 반대 방향, 즉 평형 위치 쪽을 향한다는 뜻입니다.

스프링 상수의 의미

$k$는 강성을 나타냅니다. $k$가 클수록 같은 거리만큼 스프링을 늘리거나 압축하는 데 더 큰 힘이 필요합니다.

SI 단위는 $\mathrm{N/m}$입니다. 예를 들어 두 스프링을 모두 $0.02\ \mathrm{m}$만큼 늘렸을 때, $k = 200\ \mathrm{N/m}$인 스프링은 $k = 50\ \mathrm{N/m}$인 스프링보다 4배 큰 힘이 필요합니다.

언제 $F = kx$가 성립할까

훅의 법칙은 모든 스프링과 모든 상황에 항상 적용되는 법칙은 아닙니다. 물질이 대략적인 선형 탄성 범위 안에 있을 때만 성립합니다.

기초 물리에서는 보통 힘을 제거했을 때 스프링이 원래 모양으로 돌아가고, 힘-변위 그래프가 여전히 직선에 가깝다는 뜻입니다. 스프링이 지나치게 늘어나거나 영구 변형이 생기면 $F = kx$는 더 이상 신뢰할 수 있는 모델이 아닙니다.

풀이 예제: 3 cm 늘어난 스프링

어떤 스프링의

$$k = 200\ \mathrm{N/m}$$

이고,

$$x = 0.03\ \mathrm{m}$$

만큼 늘어났다고 합시다.

먼저 크기만 쓰는 식을 사용하면

$$F = kx = 200 \times 0.03 = 6\ \mathrm{N}$$

입니다.

따라서 스프링 힘의 크기는 $6\ \mathrm{N}$입니다.

늘어난 방향을 양수로 정했다면 힘의 성분은

$$F_x = -6\ \mathrm{N}$$

입니다.

스프링은 평형 위치 쪽으로 잡아당기기 때문입니다.

이 예제는 학생들이 자주 헷갈리는 두 가지를 보여줍니다. $k$는 스프링의 강성을 정하고, 마이너스 부호는 복원력의 방향을 나타냅니다.

빠른 직관 점검

훅의 법칙은 선형 관계입니다. 스프링이 여전히 선형 탄성 범위 안에 있다면 변위가 2배가 되면 힘도 2배가 됩니다.

이 점은 답을 빠르게 확인하는 데 도움이 됩니다. $0.03\ \mathrm{m}$에서 $6\ \mathrm{N}$이 나왔다면, 같은 조건에서 $0.06\ \mathrm{m}$에서는 $12\ \mathrm{N}$이 나와야 합니다.

훅의 법칙에서 흔한 실수

변위 대신 전체 길이를 사용하는 경우

$x$는 스프링의 전체 길이가 아니라 평형 위치에서의 길이 변화량입니다.

힘의 크기와 부호 있는 힘을 혼동하는 경우

$F = kx$는 보통 힘의 크기를 나타낼 때 사용합니다. 한 차원에서 방향까지 따진다면 $F_x = -kx$로 쓰세요.

스프링 상수가 N/m인데 cm를 그대로 사용하는 경우

$k$의 단위가 $\mathrm{N/m}$이면 계산하기 전에 변위를 m로 바꿔야 합니다.

스프링이 지나치게 늘어난 뒤에도 법칙을 적용하는 경우

스프링이 선형 탄성 범위를 벗어나면 힘이 더 이상 변위에 비례하지 않을 수 있습니다.

훅의 법칙은 어디에 쓰일까

훅의 법칙은 용수철저울, 힘 센서, 서스펜션 시스템, 진동 모델, 그리고 기초적인 단순 조화 운동에서 등장합니다. 또한 작은 변형 문제에서 탄성 거동을 설명하는 첫 번째 모델로도 유용합니다.

이 법칙이 중요한 가장 큰 이유는 실용성에 있습니다. 힘이 변위에 비례하면 많은 기계 시스템을 훨씬 쉽게 해석할 수 있기 때문입니다.

비슷한 스프링 문제를 풀어보세요

같은 스프링에서 $k = 200\ \mathrm{N/m}$는 그대로 두고, 늘어난 길이만 $0.05\ \mathrm{m}$로 바꿔 보세요. 새로운 힘의 크기를 계산한 뒤, 자신이 정한 부호 규약에 따라 방향도 판단해 보세요.

한 단계 더 해보고 싶다면 $k$가 절반인 스프링과 결과를 비교해 보세요. 이것이 스프링 상수가 실제로 무엇을 결정하는지 가장 빠르게 이해하는 방법입니다.