근의 공식

근의 공식은 표준형 이차방정식을 푸는 공식입니다:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

이 공식은 $a \ne 0$인 $ax^2 + bx + c = 0$ 꼴의 방정식에 사용합니다. 이차식이 빠르게 인수분해되면 인수분해가 더 빠를 때가 많습니다. 하지만 그렇지 않다면, 근의 공식은 여전히 확실하게 통하는 믿을 만한 방법입니다.

근의 공식이 알려주는 것

이 공식은 이차식의 값이 0이 되게 하는 $x$의 값 또는 값들을 구해 줍니다. $ax^2 + bx + c = 0$에서 $a$, $b$, $c$는 공식에 대입하는 계수입니다.

제곱근 아래에 있는

$$b^2 - 4ac$$

부분을 판별식이라고 합니다. 이 값은 계산을 끝내기 전에 어떤 종류의 답이 나올지 예측하게 해 줍니다:

1. $b^2 - 4ac > 0$이면 서로 다른 두 실근이 있습니다.
2. $b^2 - 4ac = 0$이면 중근인 실근 하나가 있습니다.
3. $b^2 - 4ac < 0$이면 실근이 없습니다. 이 경우 해는 복소수입니다.

이 빠른 확인은 공식에서 어떤 결과가 나올지 미리 알 수 있게 해 주므로 유용합니다.

왜 성립할까?

이차함수는 그래프가 $x$축과 만나는 $x$값을 최대 두 개까지 가질 수 있습니다. 근의 공식은 완전제곱식을 만드는 과정에서 얻어지는 일반적인 결과이므로, 인수분해를 추측하지 않고도 그 절편을 바로 구할 수 있습니다.

매번 이 공식을 다시 유도할 필요는 없습니다. 실제로는 $a$, $b$, $c$를 정확히 찾고 부호를 헷갈리지 않는 것이 가장 중요합니다.

예제: $2x^2 + 3x - 2 = 0$ 풀기

먼저 계수를 확인합니다:

$$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2$$

이제 대입합니다:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$$

먼저 제곱근 안을 계산합니다:

$$3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

그러면 공식은 다음과 같습니다:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$

이제 두 경우를 모두 계산합니다:

$$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

따라서 해는

$$x = \frac{1}{2} \quad \text{and} \quad x = -2$$

입니다.

대입해서 한 근을 확인할 수 있습니다. $x = \frac{1}{2}$일 때,

$$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$

이로써 이 값이 실제로 맞는 해임을 확인할 수 있습니다.

근의 공식에서 자주 하는 실수

1. 먼저 식을 $ax^2 + bx + c = 0$ 꼴로 고쳐 쓰지 않는 것. 우변이 0이 아니면 계수를 바로 공식에 넣을 수 없습니다.
2. $b$나 $c$의 부호를 놓치는 것. 예를 들어 $b = -7$이면 $-b = 7$이지 $-7$이 아닙니다.
3. 분모가 전체 $2a$라는 점을 잊는 것. 전체 분자 $-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$가 $2a$ 위에 놓입니다.
4. 한 경우만 계산하는 것. $\pm$는 더하기와 빼기 두 경우를 모두 확인해야 한다는 뜻입니다.
5. 판별식 안에서 계산 실수를 하는 것. 그 안의 작은 부호 실수 하나가 전체 답을 바꿉니다.

언제 근의 공식을 사용할까?

근의 공식은 다음과 같은 경우에 특히 유용합니다:

1. 이차식이 깔끔하게 인수분해되지 않을 때
2. 표준형 이차방정식에 항상 통하는 방법이 필요할 때
3. 판별식으로 실근의 개수를 알고 싶을 때
4. 인수분해, 완전제곱식 만들기, 그래프 해석 같은 방법들을 비교하고 있을 때

비슷한 문제를 풀어보세요

같은 단계에 따라 $x^2 - 6x + 5 = 0$을 풀어 보세요. 즉, $a$, $b$, $c$를 찾고, 판별식을 계산한 뒤, 두 경우를 모두 구하면 됩니다. 유용한 비교를 위해, 나중에 인수분해도 해 보고 두 방법이 같은 근을 주는지 확인해 보세요.