이차함수 그래프 — 꼭짓점, 대칭축과 스케치

이차함수 그래프는 다음 꼴의 함수에서 얻는 포물선입니다.

$$y = ax^2 + bx + c$$

여기서 $a \ne 0$입니다. 빠르게 스케치하려면 $a$로 열린 방향을 확인하고, 대칭축과 꼭짓점, 그리고 절편 같은 몇 개의 쉬운 점을 찾으면 됩니다.

한 가지 구조적 사실만 기억한다면 이것입니다. 그래프는 꼭짓점을 지나는 세로선에 대해 대칭입니다.

꼭짓점과 대칭축 구하는 법

꼭짓점은 포물선의 방향이 바뀌는 점입니다. 그래프가 위로 열리면 가장 낮은 점이고, 아래로 열리면 가장 높은 점입니다.

대칭축은 그 꼭짓점을 지나는 세로선입니다. 다음 식에서

$$y = ax^2 + bx + c$$

대칭축은

$$x = -\frac{b}{2a}$$

입니다.

이 공식은 함수가 실제로 이차함수일 때만 적용되므로 $a \ne 0$이어야 합니다.

대칭축을 알게 되면, 그 $x$값을 함수에 대입해 꼭짓점의 $y$좌표를 구합니다.

계수가 그래프를 어떻게 바꾸는가

$a$의 부호는 열린 방향을 결정합니다.

• $a > 0$이면 포물선은 위로 열리므로 꼭짓점은 최솟값입니다.
• $a < 0$이면 포물선은 아래로 열리므로 꼭짓점은 최댓값입니다.

$|a|$의 크기는 그래프의 폭에 영향을 줍니다. $y = x^2$와 비교했을 때 $|a|$가 더 크면 그래프는 더 좁아지고, 양수인 $|a|$가 더 작으면 더 넓어집니다.

상수항 $c$는 $y$절편을 나타냅니다. 왜냐하면 $x=0$일 때

$$y = c$$

이기 때문입니다.

따라서 바로 한 점 $(0,c)$를 얻을 수 있습니다.

예제: $y = x^2 - 4x + 3$ 스케치하기

다음 식에서 시작합니다.

$$y = x^2 - 4x + 3$$

여기서 $a=1$, $b=-4$, $c=3$이므로 그래프는 위로 열립니다.

먼저 대칭축을 구합니다.

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

이제 $x=2$를 함수에 대입해 꼭짓점을 구합니다.

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

따라서 꼭짓점은 $(2,-1)$이고, 포물선이 위로 열리므로 이 점은 최솟값입니다.

다음으로 절편을 구합니다. $y$절편은 바로 알 수 있습니다.

$$y = 3 \quad \text{when } x=0$$

따라서 한 점은 $(0,3)$입니다.

$x$절편은 $y=0$으로 두고 다음을 풉니다.

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

인수분해하면

$$(x-1)(x-3)=0$$

입니다.

따라서 그래프는 다음 점들에서 $x$축과 만납니다.

$$(1,0) \text{ and } (3,0)$$

이 정보만으로도 충분히 믿을 만한 스케치를 할 수 있습니다.

• 꼭짓점은 $(2,-1)$
• 대칭축은 $x=2$
• 위로 열림
• $(1,0)$과 $(3,0)$에서 $x$축과 만남
• $(0,3)$에서 $y$축과 만남

대칭성을 보면, 점 $(1,0)$과 $(3,0)$은 직선 $x=2$에서 같은 거리만큼 떨어져 있습니다.

이차함수 그래프를 빠르게 스케치하는 방법

빠르게 그래프를 그려야 할 때는 다음 순서를 사용하세요.

1. $a$의 부호를 보고 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지 확인합니다.
2. $x=-\frac{b}{2a}$로 대칭축을 구합니다.
3. 그 $x$값을 함수에 대입해 꼭짓점을 구합니다.
4. $(0,c)$에 $y$절편을 찍습니다.
5. 실수 $x$절편이 있으면 구하고, 없으면 다른 점 하나를 더 찍은 뒤 대칭축에 대해 대칭시킵니다.

함수를 꼭짓점형으로 쓰지 않더라도, 보통 이 정도면 손으로 스케치하기에 충분합니다.

이차함수 그래프를 스케치할 때 자주 하는 실수

꼭짓점과 절편을 혼동하기

꼭짓점은 일반적으로 그래프가 축과 만나는 점이 아닙니다. 꼭짓점은 방향이 바뀌는 점입니다. 포물선의 꼭짓점은 $x$축 위에 있을 수도, 아래에 있을 수도, 또는 정확히 $x$축 위에 있을 수도 있습니다.

$a \ne 0$라는 조건을 잊기

$a=0$이면 함수는 이차함수가 아닙니다. 따라서 포물선도 아니고, 이차함수의 대칭축 공식도 적용되지 않습니다.

$x = -\frac{b}{2a}$에서 음수를 놓치기

스케치 오류의 많은 원인은 대칭축을 잘못 구하는 데서 시작하며, 그 이유는 앞의 음수를 놓치기 때문입니다. 예를 들어 $b=-4$이면 $-b=4$이지 $-4$가 아닙니다.

모든 이차함수에 실수 $x$절편이 두 개 있다고 가정하기

어떤 이차함수는 실수 절편이 두 개 있고, 어떤 것은 하나이며, 어떤 것은 아예 없습니다. 이는 그래프가 $x$축에 닿거나 만나는지에 따라 달라집니다.

이차함수 그래프는 어디에 쓰일까

이차함수 그래프는 방정식, 근, 그래프의 모양을 하나의 그림으로 연결해 주기 때문에 대수에서 자주 등장합니다. 또한 최적화 문제에서도 나타나며, 이때 꼭짓점은 최댓값이나 최솟값을 알려 줍니다.

물리에서는 모델의 가정이 성립할 때, 포물선 운동 같은 대표적인 이상화 상황에서도 이차식 모델이 나타납니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$y = -x^2 + 6x - 5$를 스케치해 보세요. 곡선을 그리기 전에 대칭축, 꼭짓점, 절편을 먼저 구해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면 꼭짓점형으로 고쳐 쓰고, 두 방법이 같은 꼭짓점을 주는지도 확인해 보세요.