부등식 푸는 법

부등식을 푼다는 것은 비교가 참이 되게 하는 모든 값을 찾는다는 뜻입니다. 기본적인 방정식을 풀 수 있다면 과정의 대부분은 이미 알고 있는 셈입니다. 여기에 추가되는 가장 중요한 규칙은 하나입니다. 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호 방향을 반대로 바꿔야 합니다.

예를 들어, $2x - 5 \le 9$는 왼쪽 식이 $9$보다 작거나 같게 만드는 모든 $x$의 값을 묻는 것입니다. 답은 보통 하나의 정확한 수가 아니라 값의 범위입니다.

부등식을 푼다는 것의 의미

방정식은 양변을 같게 만드는 정확한 값(들)을 구합니다. 반면 부등식은 한쪽이 다른 쪽보다 크거나, 작거나, 크거나 같거나, 작거나 같게 만드는 모든 값을 구합니다.

예를 들어, $x < 4$는 $4$보다 작은 모든 수가 된다는 뜻입니다. 여기에는 $3$, $0$, $-10$이 포함되지만 $4$ 자체는 포함되지 않습니다. 그래서 부등식의 답은 수의 집합으로 표현됩니다.

부등식 풀이 규칙

다음 단계들은 부등식을 서로 동치인 형태로 유지합니다.

• 양변에 같은 수를 더합니다.
• 양변에서 같은 수를 뺍니다.
• 양변에 같은 양수를 곱합니다.
• 양변을 같은 양수로 나눕니다.

양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호 방향을 바꿉니다.

$$3 < 5$$

양변에 $-1$을 곱하면:

$$-3 > -5$$

이 명제는 여전히 참이지만, 그것은 방향이 $<$에서 $>$로 바뀌었기 때문입니다.

풀이 예제: $-2x + 3 > 11$ 풀기

방정식을 풀 때처럼 먼저 $x$를 한쪽에 고립시킵니다.

양변에서 $3$을 빼면:

$$-2x > 8$$

이제 양변을 $-2$로 나눕니다. 음수로 나누고 있으므로 부등호 방향을 반대로 바꿉니다.

$$x < -4$$

이것이 전체 해집합입니다. 즉, $-4$보다 작은 모든 수가 원래 부등식을 참으로 만듭니다.

왜 부등호 방향이 바뀌는가

음수는 수직선에서 순서를 뒤집습니다. $a < b$이면 $-a > -b$입니다.

그래서 $-2x > 8$을 $-2$로 나누면 답이 $x > -4$가 아니라 $x < -4$가 됩니다. 이것은 규칙을 어기는 것이 아닙니다. 양변을 음수 배로 바꾼 뒤에도 참인 비교를 유지하는 것입니다.

값 하나로 답 확인하기

답에 맞는 값 하나를 넣어 봅시다. 예를 들어 $x = -5$:

$$-2(-5) + 3 = 13$$

$13 > 11$이므로 원래 부등식은 참입니다.

이제 답에 속하지 않는 값도 시험해 봅시다. 예를 들어 $x = 0$:

$$-2(0) + 3 = 3$$

$3 > 11$은 거짓이므로, 이것은 해가 $x < -4$라는 결과와 일치합니다.

부등식을 풀 때 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 음수를 곱하거나 음수로 나눈 뒤 부등호 방향을 바꾸는 것을 잊는 것입니다.

또 다른 실수는 답을 범위가 아니라 하나의 값처럼 생각하는 것입니다. 예를 들어, $x \ge 2$는 $x = 2$만이 아니라 무한히 많은 값이 가능하다는 뜻입니다.

세 번째 실수는 부호를 모르는 변수식을 나누는 것입니다. 그 식의 부호를 모르면 부등호의 방향이 조건에 따라 달라질 수 있습니다.

부등식은 어디에 쓰일까

부등식은 정확한 같음이 아니라 제한 조건이 있는 문제에서 나타납니다. 대표적인 예로는 점수 기준선, 예산 제약, 안전 범위, 정의역 제한, 최적화 문제가 있습니다.

또한 부등식은 대수 전반에서 자주 등장합니다. 특히 구간을 그래프로 나타낼 때, 연립부등식을 풀 때, 그리고 실제 상황에서 가능한 해를 설명할 때 중요합니다.

비슷한 부등식도 풀어 보기

$5x - 7 \le 18$을 풀어 보세요. 그다음 $-3x + 4 \ge 1$도 풀고 마지막 단계가 어떻게 다른지 비교해 보세요. 더 나아가고 싶다면 계수가 음수인 식을 직접 만들어 보고, 적절한 순간에 부등호 방향을 바꾸었는지 확인해 보세요.