多項式の因数分解

多項式の因数分解とは、多項式を積の形に書き換えることです。たとえば、$x^2 - 5x + 6$ は $(x - 2)(x - 3)$ と因数分解できます。式の値は同じですが、因数分解した形のほうが、解いたり、簡単にしたり、意味を読み取ったりしやすいことがよくあります。

多項式の因数分解のやり方を知りたいなら、基本はシンプルです。まず共通因数をくくり出し、そのあとで残った式がよくあるパターンに当てはまるかを確認します。

因数分解でわかること

因数分解した形にすると、展開形では見えにくい構造がはっきりします。もし

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3),$$

なら、零点はすぐに読めます。$x = 2$ または $x = 3$ です。これは方程式を解くとき、グラフの $x$ 切片を求めるとき、有理式を簡単にするときに重要です。

この近道が使えるのは、式が実際に積の形で書かれている場合です。展開形のままでは、零点を直接読み取ることはできません。

まず最大公約因数を確認する

パターンを試す前に、すべての項に共通する数、文字、またはその両方があるかを確認します。これは最も速い因数分解の手順で、見落とすとその後がかえって難しくなることがよくあります。

たとえば

$$6x^2 + 9x$$

では、どちらの項にも $3x$ が共通しているので、まずそれをくくり出します。

$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$

これは整数の範囲では、すでにこれ以上因数分解できません。

よくあるパターン

多項式の因数分解は、式の形に気づくとぐっと扱いやすくなります。

三項式

たとえば

$$x^2 + bx + c,$$

のような三項式では、掛けて $c$、足して $b$ になる2つの数を探します。先頭の係数が $1$ のときに使いやすい基本的な方法です。

平方差

もし

$$a^2 - b^2,$$

という形なら、

$$(a - b)(a + b).$$

と因数分解できます。これは展開すると真ん中の項が打ち消し合うからです。

たすきがけ・グループ分け

4項の多項式では、項を組に分ける方法が役立つことがあります。各組を因数分解したあとに、同じ二項式が共通因数として現れる場合にだけ使えます。

例題：$2x^2 + 7x + 3$ を因数分解する

この例では、先頭の係数が $1$ ではない三項式を扱います。

$$2x^2 + 7x + 3.$$

まず、先頭の係数と定数項を掛けます。

$$2 \cdot 3 = 6.$$

次に、掛けて $6$、足して $7$ になる2つの数を探します。その数は $6$ と $1$ です。

この2つの数を使って真ん中の項を分けます。

$$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3.$$

項を組に分けます。

$$(2x^2 + 6x) + (x + 3).$$

それぞれの組で因数分解します。

$$2x(x + 3) + 1(x + 3).$$

すると、共通する二項式が現れます。

$$2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3).$$

展開して確認します。

$$(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3.$$

この手順でうまくいく整数の組が見つからない場合、その多項式は別の形で因数分解されるか、整数ではきれいに因数分解できない可能性があります。

多項式の因数分解でよくあるミス

1. 最大公約因数を見落とすこと。$4x^2 - 8x$ の完全な因数分解は $4x(x - 2)$ であり、$2x(2x - 4)$ のままではありません。
2. 間違ったパターンを無理に当てはめること。たとえば $a^2 + b^2$ は、実数の範囲では平方差ではありません。
3. 符号を落とすこと。符号を1つ間違えるだけで、真ん中の項はすぐに変わってしまいます。
4. 確認を忘れること。因数分解は、展開して元の多項式に正確に戻ることで初めて確定します。

因数分解を使う場面

因数分解が特に役立つのは、次のようなときです。

1. 多項式方程式を解く
2. 有理式を簡単にする
3. 多項式のグラフの $x$ 切片を求める
4. あとの代数や微積分の計算の前に式を書き換える

使う方法は多項式によって異なります。整数の範囲できれいに因数分解できる式もあれば、より大きな数の範囲でしか因数分解できない式もあり、そもそもこれ以上単純な形に分けられない式もあります。

似た問題に挑戦してみよう

$x^2 - 9x + 20$ を因数分解してみましょう。まず、掛けて $20$、足して $-9$ になる2つの数は何かを考え、そのあと自分の答えを展開して確かめてください。

別の解き方と比べたいなら、手で展開して確認したあとで、ソルバーに自分の解答を入力して比べてみるのもよいでしょう。