二次方程式の解き方

二次方程式を解くには、まず標準形に書き直し、その式を成り立たせる $x$ の値を求めます。標準形は

$$ax^2 + bx + c = 0$$

で、$a \ne 0$ です。多くの問題では、因数分解、平方完成、解の公式の3つの方法が中心になります。大切なのは、目の前の式に対して最も簡単な方法を選ぶことです。

二次方程式を解くとは

求めるのは、その方程式の根、つまり解です。グラフで見ると、放物線が $x$ 軸と交わるときの $x$ の値にあたります。

二次方程式は、異なる2つの実数解をもつこともあれば、重解を1つもつこともあり、実数解をもたないこともあります。複素数まで考えるなら、すべての二次方程式は重複を含めて2つの解をもちます。

方法の選び方

計算を始める前に、すべての項を片側に移して、もう片方を $0$ にします。そうすると式の構造が見やすくなり、どの方法が合うか判断しやすくなります。

• 式がきれいに因数分解できるなら、通常は因数分解が最も速い方法です。
• 式が完全平方の形に近いなら、平方完成が効率的です。
• どちらも使いにくいなら、解の公式はどんな二次方程式にも使えます。

もう1つ便利なのが判別式

$$b^2 - 4ac$$

で、これを見ると実数解がどのようになるか予想できます。

• $b^2 - 4ac > 0$ なら、異なる2つの実数解があります。
• $b^2 - 4ac = 0$ なら、1つの重解があります。
• $b^2 - 4ac < 0$ なら、実数解はありません。

これだけで方程式が解けるわけではありませんが、計算を始める前に、どのような答えになるはずかを見通す助けになります。

3つの主な方法

因数分解

因数分解は、二次式を次のような積の形に書き直せるときに使えます。

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

ここで零積の法則を使います。積が $0$ なら、少なくとも1つの因数は $0$ です。したがって、解は $x = 2$ と $x = 3$ です。

平方完成

平方完成では、二次式を次のような形に書き直します。

$$(x - h)^2 = k$$

これは、因数分解しにくいときに、式を平方の形として見たい場合に特に役立ちます。

解の公式

解の公式は、方程式が標準形になっていれば必ず使えます。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

最も確実な一般的方法ですが、すぐに因数分解できる二次方程式では、必ずしも最速とは限りません。

例題: $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解く

この方程式はすでに標準形なので、まず因数分解できるかを確認します。積が $6$、和が $-5$ になる2つの数を探します。その数は $-2$ と $-3$ なので、

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

となります。

次に

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

を解きます。

それぞれの因数を $0$ とおくと、

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0$$

したがって、解は

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3$$

です。

元の方程式に代入して両方の答えを確認します。

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

どちらも成り立つので、解は正しいとわかります。

よくあるミス

よくあるミスの1つは、すべての項を片側に移す前に方法を決めてしまうことです。たとえば、$x^2 = 5x - 6$ は、$x^2 - 5x + 6 = 0$ と書き直してからのほうがずっと解きやすくなります。

もう1つのミスは、解を1つ落としてしまうことです。二次方程式は2つの実数解をもつことがあるので、因数分解のあとや、解の公式の $\pm$ を使うときは、両方の解を忘れずに確認しましょう。

3つ目のミスは、解の公式で $a$、$b$、$c$ の符号を取り違えることです。これは、最初に標準形へ直していないときによく起こります。

どこで使うのか

二次方程式は、代数、グラフ、最適化、運動の問題などで現れます。関係式に2乗の変数が含まれているとき、二次方程式を解くことが意味のある $x$ の値を得るための重要なステップになることがよくあります。

使う方法は方程式によって変わります。きれいに因数分解できる二次方程式では、パターンを見抜く力が役立ちます。複雑な式なら、解の公式で処理するほうがよいことが多いです。

似た問題に挑戦

$x^2 - 7x + 12 = 0$ を解いてみて、計算する前にどの方法を使うか決めてみましょう。次の練習として、同じ方程式を因数分解と解の公式の両方で解き、どちらの方法がより直接的に感じられるか比べてみるのもおすすめです。