GRE数学 — Quantの頻出分野・公式・解法戦略

GRE数学とは、GRE General Test の Quantitative Reasoning セクションのことです。主に算数、代数、幾何、データ分析が出題されますが、本当に難しいのは高度な内容よりも、正しい立式を素早く選び、ひっかけの前提を避けることです。

短く言えば、重点を置くべきなのは3つです。GRE Quantの主要分野、よく使う少数の重要公式、そして厳密な代数処理よりも概算や場合分けのほうが速いときに使う戦略です。

本当に必要なGRE数学の分野

GRE Quantの多くの問題は、見慣れた数学を使います。違うのは、問題文の言い回し、時間制限、そして何の情報が与えられていないかに気づく必要がある点です。

算数と整数の性質

ここには、整数、約数、倍数、余り、指数、平方根、小数、分数、百分率、比、速さ、絶対値、概算が含まれます。GREではこの分野の問題が多く、日常的な言葉をきれいに数式化できるかが試されます。

代数

方程式、不等式、式の整理、指数、文章題の立式、座標幾何、二次式の基本的な考え方が出ます。関係を正しく書ければ、代数そのものは比較的素直なことが多いです。

幾何

直線、角、三角形、円、多角形、面積、周長、体積、ピタゴラスの定理といった基本事項が重要です。GREで特に大事なのは、図にそう見えるからといって信用せず、明示された情報だけを使うことです。

データ分析

表、グラフ、平均、中央値、最頻値、範囲、標準偏差、パーセンタイル、基本確率が含まれます。こうした問題では、重い計算力よりも丁寧な読解のほうが得点につながることがよくあります。

覚える価値のあるGRE数学の公式

GRE数学は、公式を大量に暗記する試験ではありません。それでも、信頼できる短い公式リストがあると、よくある問題をかなり速く処理できます。

• 平均: $\text{average} = \frac{\text{sum of values}}{\text{number of values}}$
• 変化率: $\text{percent change} = \frac{\text{new} - \text{old}}{\text{old}} \times 100\%$
• 速さの関係式: $d = rt$
• 基本確率: $P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$、ただし結果が同様に確からしい場合に限る
• 長方形の面積: $A = lw$
• 三角形の面積: $A = \frac{1}{2}bh$
• 円の面積: $A = \pi r^2$
• 円周: $C = 2\pi r$
• 直角三角形の関係: $a^2 + b^2 = c^2$、ただし直角三角形に限る

実際に大事なのは、これらを単独で暗記することではありません。それぞれの公式を、どんな問題で使うのか、そしてどんな条件のもとで有効なのかと結びつけることです。

時間を節約するGRE Quantの戦略

計算する前に簡単にする

GREの問題には、計算量が多そうに見えても、因数分解、約分、式の書き換えで一気に楽になるものが多くあります。構造が簡単になれば、計算もたいてい簡単になります。

変数の条件が緩いときは場合分けする

これは quantitative comparison や抽象的な代数問題で特に有効です。変数が正、負、分数、あるいは $1$ より大きい値を取りうるなら、条件を満たす異なる範囲の値を試して、関係が変わるかを見ます。

正確な計算が不要なら概算する

選択肢の差が大きいなら、おおまかな比較だけで十分なことがあります。概算は、細かい計算が途中でずれていないかを確認する方法としても有効です。

電卓は必要なときだけ使う

電卓は面倒な計算には役立ちますが、きれいな代数、分数、単純な整数の性質では、考えたほうが速いことが多いです。何を計算するか決める前ではなく、決めた後に使いましょう。

例題: GREの Quantitative Comparison

quantitative comparison の問題では、2つの量を比べて、どちらが大きいか、等しいか、あるいは情報不足で判断できないかを答えます。

たとえば、問題が次のように書かれているとします。

$x$ が正の数のとき、次を比較せよ

• Quantity A: $x$
• Quantity B: $x^2$

一見すると、頭の中で平方して Quantity B のほうが大きいと考えたくなります。しかし、条件は $x > 0$ としか言っていません。$x > 1$ とは 書かれていません。

そこで、条件を満たす値を試します。

$x = 2$ なら、

$$x = 2 \quad \text{and} \quad x^2 = 4$$

なので、Quantity B のほうが大きいです。

しかし、$x = \frac{1}{2}$ なら、

$$x = \frac{1}{2} \quad \text{and} \quad x^2 = \frac{1}{4}$$

なので、Quantity A のほうが大きいです。

どちらの値も条件 $x > 0$ を満たしていますが、比較結果は異なります。つまり、この関係は 与えられた情報だけでは判断できません。

これは非常にGREらしい考え方です。いつも長い導出が必要なわけではありません。条件によって複数の場合がありうると気づくことが、最速で正しい一手になることもあります。

GRE数学でよくあるミス

条件を見ずに公式だけ覚える

$a^2 + b^2 = c^2$ を知っていても、その三角形が直角三角形でなければ役に立ちません。基本確率の公式も、結果が同様に確からしくなければ使えません。GREでは、条件の欠落そのものがひっかけになっていることがよくあります。

問われている以上のことを解こうとする

quantitative comparison では、2つの量を比べるのであって、必ずしも正確な値を求める必要はありません。近道で比較が確定するなら、そこで止めてよいのです。

図をそのまま信じる

幾何の図は状況をイメージする助けにはなりますが、使う長さや角度は、図の見た目ではなく、明示された情報と幾何の事実から判断すべきです。

早すぎる段階で電卓に頼る

電卓は、立式の弱さを補ってはくれません。言葉を数式に直す段階で間違っていれば、計算が速いほど早く間違った答えにたどり着くだけです。

こうしたGRE数学スキルが重要になる場面

これらのスキルは、学習中にも本番にも重要です。演習中には、ミスが内容理解、立式、時間配分のどこにあったのかを見極める助けになります。本番では、方程式を書くべきか、概算すべきか、場合分けすべきかを判断する助けになります。

だからこそ、強いGRE数学対策は、小手先のテクニック集めというより、信頼できる判断プロセスを作ることに近いのです。

似たGRE数学問題を試してみる

例題の条件を $x > 0$ から $x > 1$ に変えてみてください。もう一度 $x$ と $x^2$ を比較し、何が変わったかを考えます。さらに一歩進めるなら、自分が間違えたGRE Quantの問題を1つ選び、段階的に解いてみて、本当の原因が内容理解だったのか戦略だったのかを確認してみましょう。