比とは？— 約分・比較・文章題

比とは、2つの量を決まった順序で比べるものです。たとえば、あるクラスに女子が $12$ 人、男子が $8$ 人いるとき、女子と男子の比は $12:8$ で、これは $3:2$ に約分できます。

これは女子が $3$ 人、男子が $2$ 人しかいないという意味ではありません。比較のしかたが同じだという意味で、女子 $3$ 人に対して男子 $2$ 人の割合になっているということです。

数学での比の意味

比は、ある量が別の量に対してどのような関係にあるかを表します。 $a:b$ の形で書き、「a 対 b」と読みます。また、比較を商として扱うときは、 $b \neq 0$ であれば $\frac{a}{b}$ と書くこともできます。

順序は重要です。比 $3:2$ は $2:3$ と同じではありません。最初の数は、必ず最初に書かれた量を表すからです。

比は、2つの量が同じ種類のものであるときに最もわかりやすく使えます。種類が違う場合は、先に同じ単位に直します。たとえば $2$ メートルと $50$ センチメートルを比べるなら、まず変換します。

2 \text{ m} = 200 \text{ cm}

したがって、比は

200:50 = 4:1

です。

比を約分するときは、両方を同じ共通の約数で割ります。分数の約分と似ていますが、比の形はそのまま保ちます。

たとえば、

12:8 = 3:2

です。

これは両方とも $4$ で割れるからです。

12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2

約分した比でも、表している比較は同じです。読みやすくなるだけで、関係そのものは変わりません。

2つの数に $1$ より大きい共通の約数がなければ、その比はすでに最も簡単な形です。

ある絵の具の混合では、赤と青の比が $2:3$ です。赤い絵の具を $10$ カップ使うとき、青い絵の具は何カップ必要でしょうか。

この比は、赤 $2$ に対して青 $3$ の割合であることを表しています。

赤が $2$ から $10$ カップになるので、倍率は $5$ です。なぜなら

2 \times 5 = 10

だからです。

青にも同じ倍率を使います。

3 \times 5 = 15

したがって、青い絵の具は $15$ カップ必要です。

大切なのは、両方を同じ倍率で増やしたり減らしたりすることです。そうすることで、比 $2:3$ は変わりません。

比の文章題では、たいてい次の3つのどれかを求めます。

どの場合でも考え方は同じです。順序を固定し、比較の関係を変えないことが大切です。

よくある間違いは、「部分と部分の比」と「部分と全体の比」を混同することです。もし boys:girls = $2:3$ なら、全体の部分の数は $5$ なので、男子はクラス全体の $\frac{2}{5}$ であり、 $\frac{2}{3}$ ではありません。

問題が cats:dogs を求めているのに dogs:cats と書いてしまうと、数自体が合っていても比としては間違いです。

$1$ 時間と $30$ 分をそのまま $1:30$ と比べるのは誤りです。単位が違うからです。まず変換します。

1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}

したがって、比は

60:30 = 2:1

です。

$5:2$ は、問題で重要な意味として「いつも $3$ 多い」ということを表しているわけではありません。比は差ではなく、かけ算による比較です。

比の片方を変えたら、もう片方も同じ倍率で変えなければなりません。そうしないと、比較の関係が変わってしまいます。

比は、レシピ、地図、縮尺図、混合、クラス内の人数比較、そして等しい関係を扱う多くの代数の問題で使われます。

特に、「全部でいくつか」ではなく「何と比べてどれだけか」を考えたいときに役立ちます。

あるスナックミックスでは、ナッツとレーズンの比が $4:1$ です。ナッツが $20$ カップあるとき、同じ配合を保つにはレーズンは何カップ必要でしょうか。

次に、レーズンとナッツの比も書いて、順序を正しく逆にできているか確かめてみましょう。さらに進めるなら、ナッツを $12$ カップに変えて、例を見返さずにもう一度解いてみてください。

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