2進数から10進数への変換

2進数から10進数への変換とは、底が $2$ の数を底が $10$ の数に書き換えることです。考え方はシンプルで、2進数の各桁はその位の $2$ の累乗を含めるかどうかを表します。$1$ ならその位の値を含め、$0$ なら含めません。

たとえば、$1011_2$ は $11_{10}$ に等しくなります。これは $8$ を含み、$4$ は含まず、$2$ を含み、$1$ を含むからです。

2進数の位の値が10進数に変わるしくみ

2進数は底が 2 の数体系なので、位の値は $10$ の累乗ではなく $2$ の累乗になります。右から左へ、各位は次のようになります。

$$2^0,\; 2^1,\; 2^2,\; 2^3,\; \dots$$

つまり、最初のいくつかの位の値は次の通りです。

$$1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16,\; \dots$$

桁が $1$ ならその位の値を数えます。桁が $0$ なら数えません。

2進数から10進数への変換のルール

各桁が $b_n b_{n-1} \dots b_1 b_0$ の2進数を考え、各 $b_i$ が $0$ または $1$ であるとすると、10進数での値は次のようになります。

$$\sum_{i=0}^{n} b_i 2^i$$

変換するのにこの式を覚える必要はありませんが、考え方をはっきり示しています。2進数とは、$2$ の累乗を使った位取りにすぎません。

例題：$11001_2$ を変換する

右端から始めると、位の値は $1, 2, 4, 8, 16$ です。

$$11001_2 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1$$

次に、$1$ が付いている値だけを残します。

$$11001_2 = 16 + 8 + 1$$

したがって、10進数での値は

$$11001_2 = 25_{10}$$

となります。手早く確認したいなら、左から「$16$ が1つ、$8$ が1つ、$4$ が0個、$2$ が0個、$1$ が1つ」と読んでみましょう。

この方法が成り立つ理由

10進数では、$407$ は次の意味です。

$$4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$$

2進数でも仕組みは同じで、使うのが $2$ の累乗になるだけです。

$$11001_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

構造はまったく同じです。変わるのは底だけです。

2進数から10進数への変換でよくあるミス

1. $2$ の累乗ではなく $10$ の累乗を使ってしまうこと。2進数の位の値は $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ です。
2. 指数を確認せずに左から位を数えてしまうこと。いちばん安全なのは、右端を $2^0$ として始める方法です。
3. $1021$ のような数を2進数だと思ってしまうこと。有効な2進数の桁は $0$ と $1$ だけです。
4. 先頭の 0 は値を変えないことを忘れること。たとえば、$0011_2$ と $11_2$ はどちらも $3_{10}$ です。

2進数から10進数への変換が使われる場面

2進数から10進数への変換は、コンピュータが値をどのように保存しているかを読み取るときに出てきます。基礎的なコンピュータサイエンス、デジタル回路、データ表現、さらに権限、フラグ、メモリ値のようなビットベースの設定でも使われます。

ハードウェアを直接扱わないとしても、2進数の位取りを理解すると、数の仕組みがずっとわかりやすくなります。

似た変換をやってみよう

$101101_2$ を10進数に変換してみましょう。まず位の値を書き、そのあと $1$ に対応する $2$ の累乗だけを足します。この習慣だけで、変換ミスの多くを防げます。