平行線と垂直な直線 — 傾きと例題

平行な直線は決して交わらず、垂直な直線は直角で交わります。座標幾何では、傾きを見れば2直線の関係を最も手早く判断できます。

2本の直線がどちらも垂直線でない場合、ルールはシンプルです。傾きが等しければ平行で、傾きが負の逆数なら垂直です。1本が垂直線でもう1本が水平線の場合も、2直線は垂直です。

直線が平行かどうかの見分け方

平行な直線は向きが同じで、平面上で一定の距離を保ちます。グラフでは、傾き方が同じに見えます。

2本の異なる垂直線でない直線の傾きを $m_1$、$m_2$ とすると、次のとき平行です。

$$m_1 = m_2$$

ここで「異なる」という条件が重要です。傾きも切片も一致するなら、2つの式は形が違うだけで同じ直線を表している可能性があります。

直線が垂直かどうかの見分け方

垂直な直線は $90^\circ$ の角で交わります。両方の傾きが定義されているとき、条件は次のとおりです。

$$m_1 m_2 = -1$$

これは、傾きどうしが負の逆数であると言い換えても同じです。

たとえば、1本の傾きが $2$ なら、それに垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。1本の傾きが $-\frac{3}{4}$ なら、垂直な直線の傾きは $\frac{4}{3}$ です。

このルールが使えるのは、両方の傾きが数として存在するときだけです。垂直線の傾きは定義されないので、それに垂直な相手は傾き $0$ の水平線になります。

例題：式から2直線の関係を分類する

次の2直線が平行、垂直、どちらでもない、のどれかを判断しましょう。

$$2x - y = 3$$ $$x + 2y = 8$$

まず、それぞれの式を傾きが読み取りやすい形に直します。

$2x - y = 3$ から、$y$ について解くと

$$y = 2x - 3$$

したがって、1本目の傾きは $2$ です。

$x + 2y = 8$ から、$y$ について解くと

$$2y = -x + 8$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 4$$

したがって、2本目の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

では比べてみましょう。$2$ の負の逆数は $-\frac{1}{2}$ なので、この2直線は垂直です。積の条件でも確認できます。

$$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$

これは、2直線が交わるときに直角をつくることをすぐに示しています。

どんな2直線でもすばやく確認する方法

問題で2つの式が与えられたら、次の順で考えましょう。

1. それぞれの直線を、傾きが読み取りやすい形に直す。
2. 傾きを比べる。
3. 傾きが同じなら、平行と判断する前に2直線が異なるかどうかを確認する。
4. 傾きが負の逆数なら、2直線は垂直である。
5. どちらの条件にも当てはまらなければ、平行でも垂直でもない。

こうすると、同じ傾き、符号だけ反対の傾き、負の逆数の傾きを取り違えにくくなります。

傾きに関するよくあるミス

よくあるミスの1つは、垂直な直線は傾きが正負反対だと言ってしまうことです。それだけでは不十分です。傾きが $2$ と $-2$ なら正負反対ですが、負の逆数ではないので、その2直線は垂直ではありません。

もう1つのミスは、垂直線と水平線の特別な場合を忘れることです。垂直線の傾きは定義されないため、傾きを掛けて $-1$ になるかどうかでは判定できません。

また、傾きが同じというだけで2直線を平行とすることもあります。切片も同じなら、それらの式は異なる2本の平行線ではなく、同じ1本の直線を表しています。

平行線と垂直な直線が使われる場面

平行線と垂直な直線は、グラフ、解析幾何、座標を使った証明、直線の方程式の問題などでよく登場します。向きや直角が重要になる設計や工学の場面でも役立ちます。

実用上のポイントは、傾きによって見た目のイメージをすばやい数値判定に変えられることです。

似た問題に挑戦してみよう

$y = -3x + 2$ と $y = -3x - 5$ という2直線で、自分でも試してみましょう。まず傾きを読み取り、平行・垂直・どちらでもないのどれかを判断してから、切片が答えに影響するかを確認してみてください。

さらにもう1問やってみたいなら、Slope Formula を見て、今度は式ではなく2点から直線の関係を分類してみましょう。