Moto parabolico — Equazioni, gittata ed esempi

Il moto parabolico è il moto di un oggetto che si muove in due dimensioni dopo il lancio, mentre la gravità è l'unica forza significativa. Nel modello introduttivo standard, la resistenza dell'aria viene trascurata, quindi l'accelerazione orizzontale è $0$ e l'accelerazione verticale è $-g$.

Questo significa che la maggior parte dei problemi di moto parabolico diventa più semplice una volta separata in parte orizzontale e parte verticale. Se il proiettile non atterra alla stessa altezza, formule scorciatoia come la solita formula della gittata non si applicano automaticamente.

Definizione del moto parabolico e idea principale

Si parte dalla velocità iniziale $v_0$ e dall'angolo di lancio $\theta$. Scomponi la velocità nelle sue componenti:

$$v_{0x} = v_0 \cos \theta, \qquad v_{0y} = v_0 \sin \theta$$

Poi tratta separatamente ciascuna direzione.

Moto orizzontale:

$$x = v_{0x} t = v_0 \cos \theta \, t$$

Moto verticale, se il punto di lancio è preso come $y = 0$:

$$y = v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0 \sin \theta \, t - \frac{1}{2}gt^2$$

Queste equazioni si applicano al modello base in cui la gravità è costante e la resistenza dell'aria è trascurata.

Le equazioni del moto parabolico che userai più spesso

Per i problemi introduttivi, questi sono i risultati più utili:

$$v_x = v_0 \cos \theta$$ $$v_y = v_0 \sin \theta - gt$$

Se il proiettile atterra alla stessa altezza da cui è stato lanciato, il tempo totale di volo è

$$T = \frac{2v_0 \sin \theta}{g}$$

l'altezza massima è

$$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$$

e la gittata orizzontale è

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Quella formula della gittata non è universale. Funziona solo nel caso di stessa altezza e senza resistenza dell'aria.

Perché il moto parabolico segue una traiettoria curva

Nel modello base, la velocità orizzontale resta costante, ma la velocità verticale continua a cambiare perché la gravità tira verso il basso in ogni istante.

Quindi l'oggetto continua ad avanzare con velocità orizzontale costante, mentre allo stesso tempo accelera verso il basso. Questa combinazione crea la ben nota traiettoria parabolica.

Esempio di moto parabolico

Supponi che una palla venga lanciata da terra con velocità $20\ \mathrm{m/s}$ a un angolo di $30^\circ$. Trascuriamo la resistenza dell'aria e usiamo $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$.

Per prima cosa scomponiamo la velocità iniziale:

$$v_{0x} = 20 \cos 30^\circ \approx 17.32\ \mathrm{m/s}$$ $$v_{0y} = 20 \sin 30^\circ = 10\ \mathrm{m/s}$$

Poiché il proiettile atterra alla stessa altezza, il tempo di volo è

$$T = \frac{2(10)}{9.8} \approx 2.04\ \mathrm{s}$$

La gittata è quindi

$$R = v_{0x} T \approx 17.32 \times 2.04 \approx 35.3\ \mathrm{m}$$

Puoi ottenere lo stesso risultato anche con la formula scorciatoia:

$$R = \frac{20^2 \sin 60^\circ}{9.8} \approx 35.3\ \mathrm{m}$$

L'altezza massima è

$$H = \frac{10^2}{2(9.8)} \approx 5.10\ \mathrm{m}$$

Questo è il procedimento standard per i problemi di moto parabolico: scomporre la velocità iniziale, controllare la condizione sull'altezza e poi calcolare la grandezza richiesta.

Errori comuni nel moto parabolico

Usare la formula della gittata nella situazione sbagliata

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

funziona solo quando il proiettile parte e arriva alla stessa altezza e la resistenza dell'aria è trascurata. Se l'altezza di arrivo è diversa, bisogna tornare alle equazioni della posizione.

Confondere il moto orizzontale con quello verticale

Nel modello base, il moto orizzontale usa velocità costante. Il moto verticale usa accelerazione costante $-g$. Se mescoli queste regole, segni e formule smettono presto di funzionare.

Dimenticare di scomporre la velocità iniziale

L'angolo non entra direttamente in ogni equazione. Di solito prima servono

$$v_{0x} = v_0 \cos \theta, \qquad v_{0y} = v_0 \sin \theta$$

prima di poter risolvere il problema in modo pulito.

Supporre che la velocità verticale sia zero sia in alto sia in basso

Nel punto più alto, la velocità verticale è zero nel modello base. Al lancio e all'atterraggio, di solito non lo è. Quello che cambia nel tempo sono il segno e il valore.

Quando si usa il moto parabolico

Il moto parabolico compare nei corsi di fisica, nei problemi di lancio di una palla, nelle domande sull'angolo di lancio, nelle stime ingegneristiche semplici e in ogni caso in cui un oggetto si muove sotto l'azione della gravità dopo essere stato rilasciato.

È anche un utile collegamento tra cinematica e forze. Le equazioni del moto descrivono che cosa accade, mentre la gravità spiega perché l'accelerazione verticale è diretta verso il basso.

Un modo semplice per impostare qualsiasi problema di moto parabolico

Se un problema sembra confuso, riducilo a due domande:

1. Che cosa succede orizzontalmente?
2. Che cosa succede verticalmente?

Questo modo di impostare il problema di solito rende tutto molto più chiaro che memorizzare formule isolate.

Prova un problema simile di moto parabolico

Prova la stessa velocità iniziale con un angolo di $45^\circ$ e confronta la gittata con il caso di $30^\circ$. Se vuoi una verifica guidata, GPAI Solver può aiutarti a controllare l'impostazione prima di fare i calcoli.