Medie — media aritmetica, ponderata e mobile

Una media è un singolo numero che riassume un insieme di valori. A scuola, per "media" si intende spesso la media aritmetica, ma una media ponderata o una media mobile può essere la scelta migliore, perché ognuna risponde a una domanda diversa.

Usa la media aritmetica quando ogni valore deve contare allo stesso modo. Usa una media ponderata quando alcuni valori devono contare più di altri. Usa una media mobile quando i dati sono ordinati nel tempo e vuoi attenuare le oscillazioni di breve periodo.

Media aritmetica: usala quando ogni valore deve contare allo stesso modo

La media aritmetica è la media più comune:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Funziona quando ogni osservazione merita la stessa influenza. Se un valore deve contare più di un altro, la media aritmetica non è il riassunto giusto.

La media usa tutti i valori dell’insieme, il che la rende utile e facile da confrontare tra gruppi. È anche sensibile ai valori anomali, quindi un numero insolitamente grande o piccolo può allontanarla da ciò che sembra tipico.

Media ponderata: usala quando alcuni valori hanno più importanza

Una media ponderata attribuisce importanza diversa ai vari valori:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Qui, $x_i$ è un valore e $w_i$ è il suo peso. Pesi più grandi danno a un valore più influenza sul risultato.

Questo è lo strumento giusto quando il problema ti dice già che alcune parti contano di più. I voti scolastici, i rendimenti degli investimenti in base alla quota del portafoglio e i prezzi medi in base alla quantità seguono tutti questo schema.

C’è una condizione importante: il peso totale $\sum w_i$ non deve essere $0$. Il risultato ha senso solo se i pesi corrispondono davvero alla situazione che stai modellando.

Media mobile: usala per attenuare i dati nel tempo

La media mobile si usa per dati elencati in ordine temporale. Invece di fare la media dell’intero insieme in una volta sola, fai la media di una finestra scorrevole di valori recenti.

Per una media mobile semplice con finestra di lunghezza $k$:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Questo aiuta a rendere più regolari i dati rumorosi, così la tendenza di breve periodo è più facile da vedere. Non elimina la variabilità e non prevede il futuro. Riassume solo i dati recenti usando la finestra che hai scelto.

La lunghezza della finestra conta. Se cambi la finestra, cambia anche la media mobile. Una finestra più lunga di solito appare più regolare perché reagisce più lentamente.

Un esempio svolto che mostra la differenza

Supponi che i punteggi di esercitazione di uno studente in cinque settimane siano $70$, $75$, $80$, $85$ e $100$.

Se vuoi un’unica media complessiva su tutte e cinque le settimane, usa la media aritmetica:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Quindi la media aritmetica è $82$.

Ora supponi che l’insegnante voglia dare più peso al lavoro recente, usando i pesi $1, 1, 1, 2, 2$. Allora la media ponderata è

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

Quindi la media ponderata è $85$. I punteggi più recenti contano di più, quindi il risultato aumenta.

Se invece vuoi attenuare la tendenza recente, usa una media mobile di $3$ settimane per le ultime tre settimane:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

Questo non sostituisce la media dell’intero corso. Risponde a una domanda diversa: com’è andato il rendimento recente?

Gli stessi cinque numeri hanno prodotto tre medie diverse perché è cambiato l’obiettivo. Questa è l’idea chiave per scegliere la media giusta.

Errori comuni quando si lavora con le medie

Usare la media aritmetica quando i dati hanno già dei pesi

Se categorie di test, quantità o percentuali hanno importanza diversa, una media semplice può essere fuorviante. Dare lo stesso peso ha senso solo quando ogni valore deve contribuire allo stesso modo.

Fare la media di medie senza mantenere i pesi originali

Se una classe ha $10$ studenti e un’altra ne ha $30$, di solito non puoi fare la media delle due medie di classe come se fossero gruppi della stessa dimensione. Ti servono i conteggi o i pesi di base.

Dimenticare di dividere per il peso totale

Per una media ponderata, moltiplicare i valori per i pesi è solo una parte del lavoro. Devi comunque dividere per $\sum w_i$.

Indicare una media mobile senza specificare la lunghezza della finestra

Una media mobile è incompleta se non dici quale finestra hai usato. Una media mobile a $3$ giorni e una media mobile a $30$ giorni non sono intercambiabili.

Quando si usa ciascun tipo di media

Usa la media aritmetica per punteggi di test, misurazioni o altri dati in cui ogni osservazione deve contare allo stesso modo.

Usa una media ponderata quando il problema assegna già un’importanza diversa, come nelle categorie di voto o nelle quantità vendute.

Usa una media mobile per dati nel tempo come temperature, vendite, traffico o progressi nello studio, quando i valori grezzi oscillano da un periodo al successivo.

Prova un problema simile

Prendi cinque numeri dal tuo lavoro o dai tuoi dati di studio. Trova la media aritmetica, poi una media ponderata in cui gli ultimi due valori contano il doppio, poi una media mobile a $3$ valori per l’ultima finestra. Questo rapido confronto di solito mostra quale tipo di media serve davvero al tuo problema.