Diagramma a scatola e baffi — quartili, IQR e come disegnarlo

Un diagramma a scatola e baffi, chiamato anche box plot, mostra dove si concentra un insieme di dati e quanto è disperso. Evidenzia la mediana, il $50\%$ centrale dei dati e i valori vicini agli estremi, così puoi capire rapidamente la forma generale della distribuzione.

I riferimenti principali sono il primo quartile $Q_1$, la mediana, il terzo quartile $Q_3$ e l'intervallo interquartile $IQR = Q_3 - Q_1$. C'è però una condizione importante fin da subito: i quartili non sono definiti da un'unica regola universale. Se la tua classe, il tuo libro di testo o il tuo software usa un metodo specifico per i quartili, mantieni lo stesso metodo dall'inizio alla fine.

Cosa mostra a colpo d'occhio un diagramma a scatola e baffi

La scatola va da $Q_1$ a $Q_3$, quindi contiene il $50\%$ centrale dei dati. La linea all'interno della scatola è la mediana.

I baffi mostrano fin dove si estendono i dati oltre la scatola. In alcuni diagrammi arrivano al minimo e al massimo. In altri, si fermano ai valori più estremi che non vengono considerati valori anomali. Devi conoscere questa regola prima di decidere cosa rappresentano i baffi.

Come funzionano i quartili e l'IQR

L'intervallo interquartile misura la dispersione della metà centrale dei dati:

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Un $IQR$ più grande significa che la metà centrale è più dispersa. Un $IQR$ più piccolo significa che i dati sono più raggruppati.

Come disegnare un diagramma a scatola e baffi passo dopo passo

Usa sempre lo stesso ordine:

1. Ordina i dati dal più piccolo al più grande.
2. Trova la mediana.
3. Trova $Q_1$ e $Q_3$ usando la convenzione sui quartili che ti viene richiesta.
4. Disegna una retta numerica e segna $Q_1$, la mediana e $Q_3$.
5. Disegna la scatola da $Q_1$ a $Q_3$ e la linea della mediana al suo interno.
6. Aggiungi i baffi usando la regola prevista dalla tua classe o dal software.

Esempio svolto: trovare i quartili per un diagramma a scatola e baffi

Parti dal seguente insieme di dati ordinati

$$2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18$$

Ci sono $9$ valori, quindi la mediana è il quinto valore:

$$\text{median} = 8$$

Per questo esempio, usa la regola comune in classe che esclude la mediana complessiva quando si trovano la metà inferiore e quella superiore.

La metà inferiore è

$$2,\ 4,\ 5,\ 7$$

quindi

$$Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$$

La metà superiore è

$$9,\ 12,\ 15,\ 18$$

quindi

$$Q_3 = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$$

Ora calcola l'intervallo interquartile:

$$IQR = 13.5 - 4.5 = 9$$

Questo fornisce i riferimenti principali della scatola:

$$Q_1 = 4.5,\quad \text{median} = 8,\quad Q_3 = 13.5$$

Se i baffi arrivano al minimo e al massimo, si estendono fino a $2$ e $18$. Quindi la scatola va da $4.5$ a $13.5$, la linea della mediana si trova a $8$ e l'intero diagramma va da $2$ a $18$.

Come leggere rapidamente un diagramma a scatola e baffi

Inizia dalla mediana per individuare il centro dei dati.

Poi controlla la larghezza della scatola. Una scatola stretta significa che la metà centrale è molto concentrata. Una scatola larga significa che è più dispersa.

Infine, confronta i baffi e la posizione della mediana all'interno della scatola. Se un lato è visibilmente più lungo, la distribuzione potrebbe essere più estesa da quel lato.

Errori comuni con i diagrammi a scatola e baffi

Non saltare il passaggio dell'ordinamento. Se i dati non sono in ordine, la mediana e i quartili saranno sbagliati.

Non dare per scontato che ogni diagramma usi la stessa regola per i quartili o per i baffi. Due diagrammi corretti possono apparire diversi se sono stati costruiti con convenzioni differenti.

Non interpretare i bordi della scatola come minimo e massimo. Di solito indicano invece $Q_1$ e $Q_3$.

Non pensare che una scatola più larga significhi "più dati" in quella zona. Significa che i valori lì coprono un intervallo più ampio sulla retta numerica.

Quando i diagrammi a scatola e baffi sono utili

I diagrammi a scatola e baffi sono utili quando vuoi una visione rapida del centro e della dispersione senza elencare ogni valore. Sono particolarmente utili per confrontare due o più gruppi affiancati.

Sono comuni nei corsi di statistica, nelle relazioni di laboratorio e in qualsiasi contesto in cui la mediana e la metà centrale dei dati contano più di un elenco dettagliato di tutti i valori.

Prova la tua versione

Prendi un piccolo insieme di dati già ordinati, trova la sintesi a cinque numeri e abbozza a mano il diagramma a scatola e baffi. Poi confrontalo con uno strumento grafico per verificare se la regola dei quartili e quella dei baffi corrispondono al risultato.